transformaciones lineales

5.- TRANSFORMACIONES LINEALES

INTRODUCCION
Los vectores y las matrices se relacionan en forma intima a través de la multiplicación matricial. Para una matriz fija A de m x n, cualquier vector nx corresponde al vector m Ax. Esta correspondencia definida por el producto matricial Ax es el principal ejemplo de una transformación lineal, cuya definición actual se debe a Peano. Lastransformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en matemáticas, física, ingeniería, procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y de la vida diaria. Ahoradirigiremos nuestra atención a un tipo contemporáneo de aplicaciones.




Fig.5.1 Transformación lineal de una imagen.
El dilema de un caricaturista.
Un caricaturista moderno emplea computadoras yalgebra lineal para transformar las imágenes que dibuja. Supongamos que trata de dar la sensación de movimiento a la imagen de la figura 5.1(a), inclinándola y estirándola (horizontalmente) en formagradual para llegar a la de la figura 5.1 (b).si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo, a lo largo del eje x es 50%,¿Cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace laimagen inclinada? El método debería ser independiente de la imagen (cuadro) inicial para poder aplicarlo a otros cuadros. Como veremos en la sección 5.1, en la respuesta interviene una sencillamultiplicación de matriz por vector. De hecho, necesitamos multiplicar por la izquierda el vector coordenado de cualquier punto en el plano que deseemos transformar, por la matriz.
TRANSFORMACIONESLINEALES
Las transformaciones lineales son mapeos de importancia fundamental en el algebra lineal y en sus aplicaciones. Son transformaciones entre espacios vectoriales que conservan la suma vectorial yla multiplicación por escalar. En esta sección definiremos una transformación lineal y mostraremos varios ejemplos que el lector debe estudiar con mucho cuidado.
DEFINICION
(Transformaciones...