Tesis de redes

UNIVERSIDAD DE SONORA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Teoría de Renovación y Procesos de Renovación Markovianos

Presenta:

ISRAEL TARAZÓN ACUÑA
Director: Dr. Oscar Vega Amaya

Hermosillo, Sonora

Octubre 2004

Índice General
Introducción

vii 1
1 6 9 11 12 18 21 26

1 TEORÍA DE RENOVACIÓN
1.1 Introducción 1.2 Ecuación de Renovación 1.3 Un Teorema Límite 1.4 Lema deWald 1.5 El Teorema Elemental de Renovación 1.6 Distribución de la Edad y del Exceso de Vida 1.7 Procesos de Renovación con Retardo 1.8 Procesos de Renovación con Ganancia 2 CADENAS DE MARKOV 2.1 Introducción 2.2 Función de Transición y Distribución Inicial 2.3 Tiempo para la Primera Visita 2.4 Clasificación de Estados 2.5 Cadenas Irreducibles 2.6 DistribucionesEstacionarias 2.7 Clasificación de las Cadenas de Markov 2.8 Existencia y Unicidad de las Distribuciones Estacionarias 2.9 Convergencia a la Distribución Estacionaria 2.10 Ecuación de Poisson 2.11 Martingalas

33
33 34 37 39 46 48 50 55 57 59 63

3 PROCESOS DE RENOVACIÓN MARKOVIANOS.
3.1 Introducción 3.2 Procesos Regulares 3.3 Ecuación de Poisson Semi-Markoviana iii

67
67 70 75Agradecimientos.
Agradezco a mi director de tesis Dr. Oscar Vega Amaya por todas sus atenciones y sus buenos consejos, también agradezco al comité revisor de tesis, al Dr. F. Luqüe Vázques, Dr. Agustín Brau Rojas por sus valiosas observaciones y sugerencias, y quiero agradecer especialmente al Dr. Jesús Adolfo Minjárez Sosa por su invalorable ayuda a lo largo de toda la licenciatura y realizacióndel trabajo de tesis. A todos ellos Gracias. También agradezco el apoyo del Conacyt bajo el proyecto 28309-E. A todos y cada uno de mis farnilares y amigos que me apoyaron durante mis estudios, les agradezco todas sus atenciones para conmigo, y comparto con ustedes este trabajo. En especial a mis padres.'

'Todos los hombres minen, pero no todos viven en realidad.

Introducción
Los procesosestocásticos han tenido mucho auge en la época moderna, dada la gran cantidad de aplicaciones, en fenómenos de crecimiento, mecanismos de evolución genética, sistemas de ingeniería, estructuras económicas y en muchos otros campos. Los procesos de conteo, como los procesos de Poisson y las cadenas de Markov, son ejemplos importantes de procesos estocásticos. los primeros registran el número derepeticiones de algún evento de interés, con la característica de que los tiempos de ocurrencia entre dos eventos consecutivos son variables aleatorias (v.a) independientes e identicamente distribuidas con una distribución común exponencial. La característica principal de las Cadenas de Markov es la propiedad de perdida de memoria, que es que el pasado no influye en la evolución futura del sistema.Una generalización a estos procesos, son los procesos de renovación, los cuales son procesos de conteo pero su función de distribución es arbitraria. El objetivo del trabajo es estudiar los Procesos de Renovación Markovianos, los cuales mezclan la estructura probabilística de la teoría de Renovación y las Cadenas de Markov. Pondremos especial atención en el estudio de los costos promedio esperados.El trabajo se estructura de la siguiente manera. En el Capítulo 1 estudiaremos La teoría de Renovación, donde trataremos la función de renovación, los procesos de retraso y los procesos de renovación con ganancia entre otros, el segundo capítulo, lo dedicaremos al estudio (le las principales propiedades de las llamadas Cadenas de Markov. En el tercer capítulo estudiaremos los Procesos deRenovación Markovianos y nuestro objetivo es el de estudiar los costos promedio por etapas a largo plazo y los costos promedio esperados.

vii

Capítulo 1
TEORÍA DE RENOVACIÓN
1.1 Introducción
La teoría de renovación estudia una clase de procesos estocásticos conocidos como procesos de conteo, es decir, procesos que registran el número de repeticiones de cierto evento, con la característica de...