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ECUACIÓN DE LAPLACE.
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico ymatemático Pierre-Simon Laplace.
Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teóricacomo la astronomía, la electrostática, la mecánicade fluidos o la mecánica cuántica.
Definición
En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función  de variables reales x, y, y z, tal queEn coordenadas cartesianas

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

donde  es el operador de Laplace o "laplaciano" que también seescribe como:

donde  es la divergencia, y  es el gradiente o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde  también es el operador de Laplace.
Las soluciones de la ecuación de Laplace sedenominan funciones armónicas.
Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si la ecuación se escribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por loque la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.
La ecuación de Laplace, así como también la ecuación dePoisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

ECUACIÓN DE POISSON.
En matemática y física, la ecuación de Poisson es una ecuación en derivadas parciales conuna amplia utilidad en electrostática, ingeniería mecánica y física teórica. Su nombre se lo debe al matemático, geómetra y físico francés Siméon-Denis Poisson.
La ecuación de Poisson se define como:donde  es el operador laplaciano, y f y φ son funciones reales o complejas. En un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma la forma:

Si f = 0, la ecuación se convierte en...