Serie de fourier

SERIE DE FOURIER
 

CONCEPTO
  Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de "representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a lo largo deeste trabajo la Serie de Fourier, Ejercicios referentes al seno y coseno, las Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por la serie trigonométrica

CONJUNTO DE FUNCIONES RELACIONADAS
[pic]
Donde w 0=2p /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonométrica de Fourier. Esta serietambién se puede representar así:
[pic]
Ejemplo 1: Deducir la forma [pic]de [pic]y expresar Cn y q n en términos de an t bn.
Se puede expresar así
[pic]
se utiliza la entidad trigonométrica
[pic]
donde
[pic]
[pic][pic]
Por consiguiente,
[pic]ó [pic]
También si se hace
[pic]
Se Obtiene
[pic]
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función como lasuma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia [pic]se denomina la enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la función y [pic]se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos q n se conocen comoamplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.
Funciones Periódicas
Ejemplos de series de Fourier
[pic]

Grafico de una función periódica.
[pic]

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.
Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada.
[pic]
[pic]
En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:[pic]
Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:
[pic]

Una función periódica se puede definir como una función para la cual
[pic](1.1)
para todos los valores de t. La constante mínima T que sastiface la relación , se llama el período de la función. Mediante repetición de [pic], se obtiene:
[pic]
En la siguiente función se muestra un ejemplode una función periódica
[pic]
Ejemplo 1: Encontrar el periodo de la función [pic]
Si la función f(t) es periódica con un periodo T, entonces, de [pic]se tiene
[pic]
puesto que cos(q + 2 p m)=cos q para cualquier entero m se tiene que
[pic][pic]
donde m y n son enteros, Por consiguiente T= 6p m; cuando m = 4 y n = 3, se obtiene el mínimo valor de T. (esto se puede ver mediante elprocedimiento de ensayo y error). De donde, T = 24p
en general, si la función
[pic]
es periódica con período T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
w 1T = 2nm
w 2T = 2mn el cociente es
[pic]
es decir, la relación w 1 / w 2 debe ser un numero racional.
Ejemplo 2: Decir si la función [pic]es una función periódica.
Aquí [pic]y [pic]. Puesto que
[pic]
No es un número racional,es imposible encontrar un valor T que satisfaga [pic]por consiguiente f(t) no es una función periódica.
Ejemplo 3: Encontrar el periodo de la función [pic]
Si aplicamos la identidad trigonométrica [pic]se tiene
[pic]
Puesto que una constante y una función periódica de periodo T para cualquier valor de T, el período de cos 2t es p , se concluye que el periodo de f(t) es p .
Demostrar que sif(t + T) = f(t), entonces.
[pic]

Relaciones de Ortogonalidad

Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
[pic]
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de...