selectividad matematicas

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE DE 2013
EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II
TIEMPO DISPONIBLE: 1 hora 30 minutos
PUNTUACIÓN QUE SE OTORGARÁ A ESTE EJERCICIO: (véanse las distintas partes del examen)

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación
máxima.

OPCIÓN A
A. 1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

𝜆𝜆𝜆𝜆+ 4 𝑦𝑦 + 12 𝑧𝑧 = 0
2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 4 𝑧𝑧 = 𝜆𝜆
𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦 + 6 𝑧𝑧 = 0

a) (1 punto) Determine los valores de

𝜆𝜆 para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única.

b) (1,5 puntos) Resuelva el sistema, si es posible, cuando

A. 2. a) (1,25 puntos) Estudie la posición relativa de los planos:

𝜆𝜆 = 4 y cuando 𝜆𝜆 = 0.

𝜋𝜋: 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 1

𝑥𝑥 = 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇
𝜋𝜋´: � 𝑦𝑦 = 1 − 𝜇𝜇
𝑧𝑧 = −1+ 2𝜆𝜆 + 𝜇𝜇

b) (1,25 puntos) Encuentre la recta que pasa por el punto

𝑃𝑃 = (0, 1, 1) y es perpendicular al plano

𝜋𝜋´. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.

A. 3. Sea la función:

(𝑥𝑥 + 2)2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 + 3

a) (0,5 puntos) Determine su dominio de definición.

b) (1 punto) Encuentre las asíntotas que tenga esa función.
c) (1 punto) Considereahora la función:

𝑔𝑔(𝑥𝑥) =

(𝑥𝑥 + 2)2
𝑥𝑥 + 3

Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si
existen.
A. 4. a) (1,25 puntos) Calcule:
3

b) (1,25 puntos) Determine el límite:

�

2

1
𝑑𝑑𝑑𝑑
2𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 2
2

1 + 2 ln(𝑥𝑥) + [ln(𝑥𝑥)]
𝑥𝑥→+∞
𝑥𝑥[1 + ln(𝑥𝑥)]
lim

OPCIÓN B AL DORSO

OPCIÓN B

B. 1. Sean

𝐴𝐴 y B las dosmatrices siguientes:
𝑎𝑎
𝐴𝐴 = �
0

a) (1 punto) ¿Para qué valores de

−2 1
𝐵𝐵 = � 0 −1�
3
𝑎𝑎

1 0
�,
1 1

𝑎𝑎 existe la inversa de 𝐴𝐴𝐴𝐴? ¿Y la de 𝐵𝐵𝐵𝐵?

b) (1,5 puntos) Encuentre la inversa de la matriz:

2 3 3
𝐶𝐶 = �2 4 3�
2 3 4

Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por
identidad.

𝐶𝐶, se obtiene la

B. 2. Dadas las rectas:

𝑟𝑟 ∶

𝑥𝑥−1𝑘𝑘

=

𝑦𝑦 −2
2

𝑠𝑠 ∶ �

=

𝑧𝑧

−1

,

con

𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 0
2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1

𝑘𝑘 ≠ 0

a) (2 puntos) Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diferentes valores de
b) (0,5 puntos) ¿Existen valores de

𝑘𝑘 para los que las rectas son perpendiculares?

𝑘𝑘 .

B. 3. a) Considere las funciones:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 1

y

𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3 − 𝑥𝑥.

(0,5 puntos)Determine los puntos de corte de esas dos funciones.
(1 punto) Determine el área encerrada entre esas dos funciones.
b) (1 punto) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de
la función:

ℎ(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 6 + 2.
B. 4. a) (1,25 puntos) Usando el cambio de variable

b) (1,25 puntos) Calcule:

�

𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 , calcule:

𝑒𝑒 𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
1 − 𝑒𝑒 −𝑥𝑥

𝑥𝑥 − 1 √𝑥𝑥lim �
�
𝑥𝑥→+∞ 𝑥𝑥 + 1

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE DE 2013

CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN
EJERCICIO DE: MATEMÁTICAS II

Como norma general, se deben valorar positivamente la exposición lógica, ordenada y coherente de las
respuestas.
Si en el desarrollo de un problema se detecta un error numérico, que no sea manifiestamente
inconsistente con lacuestión, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se debe dar
especial relevancia al error, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial o el
resultado sea manifiestamente inconsistente con el problema a resolver.
OPCIÓN A
A. 1. a) (1 punto) La calificación debe tener en cuenta los razonamientos usados.
b) (1,5 puntos) La resolución del sistema parasistema para

𝜆𝜆 = 0 se calificará hasta 0,5 puntos y el estudio del

𝜆𝜆 = 4 (es incompatible) se calificará hasta 1 punto.

A. 2. a) (1,25 puntos) La determinación de que los planos se cortan se calificará hasta 1,25 puntos.
b) (1,25 puntos) Si la ecuación de la recta no se proporciona como intersección de dos planos se
calificará con un máximo de 0,75 puntos.
A. 3. a) (0,5 puntos)...