PEP1 2014 2 FINAL

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C. C.
CÁLCULO I, MÓDULO BÁSICO INGENIERÍA
PRIMERA PRUEBA PARCIAL SEGUNDO SEMESTRE 2014NOMBRE…………………………………………………………………RUT--------------------------------Tiempo: 90 minutos

1.- Resuelva la Inecuación:

− 5x − 6 + x 2
5x − 6

> 0 indicando, si existen:

i) Cotas superiores e inferiores
ii) Supremo e Ínfimo Justifique
2.- a) Determine el límite

b) Determinarlim
x→0

1 − cos x .
sen 2 x

k ∈ ℜ , de modo que f (x) sea continua en x0 = 2 , donde

x x − 8
si x > 2

f ( x) =  x − 2
kx + 1 si x ≤ 2

3 - Para la función f ( x ) =

x
determine:
x −5
2

i)Dominio y Recorrido de f
ii) Signos y ceros de la función
iii) Asíntotas verticales y horizontales, si existen
iv) Si es par o impar
v) Gráfico de f (x )

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DECIENCIA. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y C. C.
CÁLCULO I, MÓDULO BÁSICO INGENIERÍA
PRIMERA PRUEBA PARCIAL SEGUNDO SEMESTRE 2014

PAUTA

6

5 x − 6 si x ≥ 5
1.-a) .- Se tiene 5 x − 6 = 
6 − 5 x si x< 6
5

Por lo tanto tenemos los siguientes casos:

i)

x≥

Por tanto

6
5

− 5x − 6 + x 2
5x − 6

>0⇒

− (5 x − 6) + x 2
6
>0 x≠
5x − 6
5

x 2 − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3)
=
> 0 …………………… ………….0,4puntos
5x − 6
5x − 6

Aplicando método reducido (puntos críticos) la solución queda:

6
6 
S =  ,2  ∪ ]3,+∞[ Interceptando en la condición inicial x ≥ se tiene:
5
5 

S1 = S…………………………………………………………………………….0,4 puntos
ii)

6
x<
5

− 5x − 6 + x 2
5x − 6

>0⇒

5 x − 6 + x 2 ( x + 6)( x − 1)
=
>0
5x − 6
5x − 6

Aplicando método reducido (puntos críticos), la solución queda:

6
6

S = ]− 6,1[ ∪  ,+∞  Interceptando con x < se tiene:
5
5


S 2 =]− 6,1[ …………………………………………………………………….0,4 puntos

]

[

6 

]

[

Por lo tanto la solución final es: S1 ∪ S 2 = − 6,1 ∪
 5 ,2  ∪ 3,+∞ …..0,2 puntos
i)
ii)

Cotas superiores No tiene Cotas inferiores:− 6 . ……………...0,3 puntos
Supremo, no tiene, Ínfimo:- 6………………………………………..0,3 puntos

2.- a) Tenemos...