Metodos gauss-jordan y gauss-seidel
Páginas: 5 (1138 palabras)
Publicado: 23 de marzo de 2010
Métodos de Gauss-Jordan y Gauss-Seidel
Carlos Javier Ballesteros y Adriana Margarita Coronell
Profesor Fredys Jimenez Mendoza. Grupo 1 – 25-08-2009
Matematicas especiales para Ingenieros, Universidad del Atlántico, Barranquilla
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se explican detalladamente dos importantes temas:
1. Metodo de Gauss-Jordan
2. Método de Gauss-Seidel.
Se trata de dos importantesherramientas que sirven para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones.
A lo largo de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce a cada tema, al tiempo que se muestran su aplicación en dos ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado que permiten comprender con toda claridad cada uno de los procesos que se van siguiendo en el análisis de cadapaso realizado.
Normalmente estos temas tienen procesos largos y por ello son ideales para programar por computadora y no solamente para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada.
OBJETIVOS
* Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de Gauss-Jordan yGauss-Seidel.
* Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar la solución de sistemas de ecuaciones, y poder así programar dichos métodos en el computador.
MARCO TEÓRICO
Método de Gauss-Jordan
Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual a cero, y el número de elementos nulosal comienzo de cada fila no nula es estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema: Dada una matriz cualquiera A ∈ Rm×n existen matrices F y U tales que FA = U siendo U una matriz escalonada.
Demostración:
El siguiente organigrama, muestra el algoritmo de escalonamiento de una matriz A ∈ Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se alcanza la condición de parada, la nueva matrizA es escalonada.
Método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:
De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son lasque forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:
Estos últimosvalores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahorasustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde se debe prefijarconvenientemente.
Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO.
Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método.
Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si...
Carlos Javier Ballesteros y Adriana Margarita Coronell
Profesor Fredys Jimenez Mendoza. Grupo 1 – 25-08-2009
Matematicas especiales para Ingenieros, Universidad del Atlántico, Barranquilla
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo se explican detalladamente dos importantes temas:
1. Metodo de Gauss-Jordan
2. Método de Gauss-Seidel.
Se trata de dos importantesherramientas que sirven para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones.
A lo largo de este trabajo se presenta un marco teórico que introduce a cada tema, al tiempo que se muestran su aplicación en dos ejercicios resueltos con explicaciones detalladas sobre cada proceso realizado que permiten comprender con toda claridad cada uno de los procesos que se van siguiendo en el análisis de cadapaso realizado.
Normalmente estos temas tienen procesos largos y por ello son ideales para programar por computadora y no solamente para hacerlos sobre el papel. Programar estos temas permite incluso obtener una mejor comprensión de la teoría aquí presentada.
OBJETIVOS
* Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de Gauss-Jordan yGauss-Seidel.
* Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar la solución de sistemas de ecuaciones, y poder así programar dichos métodos en el computador.
MARCO TEÓRICO
Método de Gauss-Jordan
Se denomina matriz escalonada a una matriz en la que las filas posteriores a una fila cuyos elementos son todos ceros, tienen todos sus elementos igual a cero, y el número de elementos nulosal comienzo de cada fila no nula es estrictamente menor que en la siguiente.
Teorema: Dada una matriz cualquiera A ∈ Rm×n existen matrices F y U tales que FA = U siendo U una matriz escalonada.
Demostración:
El siguiente organigrama, muestra el algoritmo de escalonamiento de una matriz A ∈ Rm×n, mediante transformaciones elementales filas. Cuando se alcanza la condición de parada, la nueva matrizA es escalonada.
Método de Gauss-Seidel
El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:
De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:
Este último conjunto de ecuaciones son lasque forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:
Estos últimosvalores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:
Se vuelve a repetir el proceso, pero ahorasustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:
En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:
El proceso se vuelve a repetir hasta que:
donde se debe prefijarconvenientemente.
Importante observación respecto al método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO.
Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método.
Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si...
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