Mecatronica

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO

INGENIERÍA MECATRÓNICA

“Algebra Lineal”

Unidad No. 5
“Transformaciones Lineales”

Barraza Pérez Karla Pamela 11040314

Durango, Dgo. Jueves 08 de Diciembre del 2011

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con unaestructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denominatransformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de lamatemática.
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2. donde k es un escalar.
Definición 2: Sean V, W espacios vectoriales, una transformación lineal L es una función L: V →W, tal que:

1. L (u+ v) = L (u) + L (v).

2. L (kv) = kL(u).

Proposición 1 Sea L: V → W, una transformación lineal, entonces L (0) = 0.
Sea L una transformación lineal entonces,

L (0) = L(v − v) = L(v) − L(v) = 0

Corolario 1 Sea L: V → W, una transformación, si L (0) = 0, entonces T no es lineal.

Marco Teórico

* Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales, es decir, elobjetivo es transformar un espacio vectorial en otro. Notación: para señalar una transformación lineal usaremos f (v)=W, donde V y W son los espacios vectoriales que actúan sobre un mismo campo. Terminología: a las transformaciones lineales las llamaremos aplicación lineal. Gráfico: Dado un espacio vectorial V, cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, sus elementos son funciónde los elementos de V V W Sean: V, W: Espacios Vectoriales f v1 w1 v1, v2, v3 Vectores v2 w2 w1,w2,w3 v3 w3
* Una función f de V en W que asigna a cada vector v, un vector f(v) Є W es una transformación lineal, si y sólo si, α Є K, vi, vj Є V, satisface los A A siguientes axiomas: 1. f (vi + vj) = f (vi) + f (vj) 2. f (vi) = α.f (vi) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, entonces secumple que: 1. f (0v) = 0w 2. f (vi - vj) = f (vi) - f (vj) Teorema: Sea f : V W Una transformación lineal, dimV=n dimV = dimN (f) + dimIm (f)
* El núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero. N (f) = { v Є V | f (v) = 0w } Notación: Núcleo se denota N(f) Gráfico: Dado un espacio vectorial V,cuyos elementos son: v1, v2…, y dado un espacio vectorial W, El núcleo está formado por todos aquellos vectores que tienen como Correspondiente el vector cero en W. V W Sean: . V,W: Espacios Vectoriales . . f v1,v5,v9 v1 Vectores N (f) v5 0w 0w v9 . . .
* La Matriz De Transformación Lineal
Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal.Desarrollo:
Si V y W son espacios de dimensión infinita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax
Sea una base de V. Entonces todo vector v en V esta determinado de manera ¨ nica por los coefientes en: Si f: V W es...