Maximos y minimos

Intervalos de Monotonía TEOREMA Sean f una función con dominio y

a) f se dice ESTRICTAMENTE CRECIENTE en el intervalo I si para en I entonces f ( x1 )  f ( x2 ) .

b)

f se dice ESTRICTAMENTE DECRECIENTE
en el intervalo I si para entonces f ( x1 )  f ( x2 ) . en I

c)

f se dice CRECIENTE en I
si para en I entonces f ( x1 )  f ( x2 ) .

d) f se dice DECRECIENTE en I si para en Ientonces f ( x1 )  f ( x2 ) .

e) Una función TEOREMA Sea

se dice MONÓTONA si es creciente o decreciente.

una función continua y derivable en un intervalo . Entonces: i) Si ii) Si , , es estrictamente creciente en . es estrictamente decreciente en .

Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función: f(x) = x3 − 3x + 2 Para determinarlosintervalos de crecimiento y decrecimiento realizaremos los siguientes pasos: 1. Derivar la función. f '(x) = 3x2 −3 f '(x) = 0.

2. Obtener las raíces de la primera derivada, para ello hacemos: 3x2 −3 = 0

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la primera derivada y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo quetiene en la primera derivada. Si f'(x) > 0 la función es estrictamente creciente. Si f '(x) < 0 la función es estrictamente decreciente.

-

En el intervalo (−∞,−1) por ejemplo tomamos x=-2. En el intervalo (−1, 1) por ejemplo tomamos x=0 Del intervalo (1,+∞) por ejemplo tomamos x=2 evaluando obtenemos la tabla

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Estrictamentecreciente: (−∞, −1) Estrictamente decreciente: (−1,+1) (+1, +∞)

Definición Punto Crítico: Sean En i) ii) continua en el intervalo si ó no existe.

hay un punto crítico de

Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento, decrecimiento y los puntos críticos de la función

El dominio de la función es

Los puntos críticos de la función ocurren cuando o cuando no está definida, es decir en x=0,x=3, x=1. Analizando los signos de la derivada de la función en cada intervalo, tenemos

La función es creciente en

y decreciente en

Valores extremos de una función
Máximo Absoluto

Consideremos la siguiente función continua
Máximo Relativo

Máximo Relativo

como vemos la función gráficamente alcanza valores máximos (absoluto y relativos) y valores mínimos (absoluto y relativos).Se utilizará el término extremo para designar un máximo o mínimo.
Mínimo Relativo

Mínimo Absoluto

TEOREMA del Valor Extremo Si es continua en , entonces tiene un máximo y mínimo en el intervalo.

TEOREMA Condiciones suficientes para la existencia de un extremo. Sean: i. continua en ii. punto crítico de iii. derivable en a exepción quizá en a) Si al pasar por de izquierda a derecha, elsigno de la derivada cambia de “más” ( ) a “menos” ( ), entonces la función tiene un máximo en . b) Si al pasar por de izquierda a derecha, el signo de la derivada cambia de menos a más entonces la función tiene un máximo en .

Ejemplo: Determinar los extremos de la función

En la tabla los puntos críticos son: x=-3 y x=1 En x=-3 la primera derivada (en la tabla) Para de + a - por lo tanto es unmáximo. En x=1 la primera derivada (en la tabla) Para de - a + por lo tanto es un mínimo. TEOREMA
x+3 x-1

-3

1

+

+ -

+ + +

Criterio de la segunda derivada para determinar extremos Si i. ii. Si Si , entonces La función tiene un máximo en La función tiene un mínimo en . .

Ejemplo: Determinar los extremos de la función Para determinar los extremos podemos hacerlo con cualquierade los dos métodos vistos.

Vamos a realizar el primer método el teorema de la condición suficiente para la existencia de extremos Con la primera derivada realizamos la tabla Los puntos críticos son x=-1 y x=2/3 + + + En x=-1 (pasa de + a -) tenemos un máximo En x=2/3 (pasa de – a +) tenemos un mínimo

-1

2/3

x+1 3x-2

+

+ -

Vamos a comprobar este resultado con el criterio de...