Matematicas

Integrales
[Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto...
En este capítulo intentaremos solamente definirel área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f  tal que f (x) ≥ 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ...
[pic]
figura 1
[pic]
figura 2

El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral def sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ≥€ 0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebráica' de R(f, a, b)). (Spivak, 317-8)]
[Supongamos que una curva situada por encimadel eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.
[pic]
Figura 24.
Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primeraparte por Δx1, la de la segunda por Δx2, y así sucesivamente hasta la última, Δxn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma
[pic]
(28)

Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 24.
Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores pordivisión del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.
La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Δxi en la n-ésima subdivisión tiende a cero. Así:
[pic]
(29)

Elcálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (29)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (29). (Aleksandrov, 1, 163-4)]
Integral definida
[El límite (29) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por
[pic]
La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límiteinferior, y b, el límite superior. (Aleksandrov, 1, 166)]
Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
[pic] 
Si f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
[pic]
(Spivak, 357)]
[Una tal función f (x) se llama primitiva de f (x). (Aleksandrov, 1, 168)]
[..., el teorema 1 es interesante en extremo cuando f escontinua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y
F' = f
..., si f es continua ..., f es la derivada de alguna función, a saber, la función
[pic]
(Spivak, 361)]
Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal
[Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
[pic]
(30)

(Spivak, 363)]
[Esta igualdad es lafamosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida...