matematica I

Concavidad
Derivada segunda
Se llama derivada segunda de una función f(x) a la derivada de la derivada de dicha función.
Notación: f''(x).
Este concepto se puede extender a la derivada n-ésima de una función.
Ecuación de la recta tangente a una función f en x=a
La ecuación de una recta que pasa por el punto (a,f(a)) es y = m(x-a) + f(a), siendo m la tangente del ángulo que forma la rectacon el eje ox.
Para obtener la ecuación de la recta tangente a f en x=a, m debe ser f'(a).

Ecuación de la tangente: y = f'(a)(x-a) + f(a)
Nota: en las siguientes definiciones y teoremas, utilizaremos el concepto de entorno de a (Ea) y entorno reducido de a (E*a). Para ver las definiciones, visitar la página sobre límite finito.
Concavidad
f presenta concavidad positiva en x=a si existe unE*a / para todo x perteneciente al E*af(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

   
La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*af(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

   
La función presenta concavidad negativaen el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.


Punto de inflexión
f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a)f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

   En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.
 

   
En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

Determinando la concavidad
Para determinar la concavidad de la gráfica de una función,debemos determinar los intervalos en los que f''(x)0 (concavidad hacia arriba). Se sugiere el siguiente procedimiento:
1. Determinar los valores en los que f''(x)=0 o f''(x) no está definida.
2. Determinar con esos valores unos intervalos de prueba.
3. Determinar el signo de f''(x) en cada uno de esos intervalo de prueba.
    A continuación se muestran dos ejemplos para ilustrar esteprocedimiento.


Ejemplo 1:
 

135x + 40x3 - 3x5
f''(x)=0 en x={-2, 0, 2}
f''(x)= existe para todos los reales
Los números que forman intervalos de prueba son: {-2, 0, 2}

Valores de prueba: {-2.1, -1.9, 0.1, 2.1}

Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {0.191333, -0.164667, 0.0886667, -0.191333}
f(x)=



270





135 + 120x2 - 15x

f'(x)=



2702x(2-x)(2+x)

f''(x)=



9




De lo anterior, podemos concluir que:
La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -2.
La gráfica es cóncava hacia abajo entre x=-2 yx=0.
La gráfica es cóncava hacia arriba entre x=0 yx=2.
La gráfica es cóncava hacia abajo de 2 a 
.

 





Ejemplo 2:
 

f''(x)=0 en x={}
f''(x) no existe en x={-1, 1}
Los números que forman intervalos de pruebason:{-1, 1}
Valores de prueba: {-1.1, -0.9, 1.1}
Los valores de f''(x) en los valores de prueba son: {1999.78, -2000.29, 1999.78}

x2 + 1



f(x)=





x2 - 1









2x

2x(x2 + 1)

f'(x)=

-



x2 - 1

(x2 - 1)2







4(1 + 3x2)

f''(x)=



(x + 1)3(x -1)3

De lo anterior, podemos concluir que:
La gráfica es cóncava hacia arriba de - a -1.
Lagráfica es cóncava hacia abajo entre x=-1y x=1.
La gráfica es cóncava hacia arriba de 1 a .

Punto Máximo O Mínimo
El concepto de máximo y mínimo en un intervalo dado se muestra desde el punto de vista gráfico y analítico. Si la derivada de una función es cero o no existe entonces decimos que estamos frente a un valor crítico que podría ser un máximo o mínimo relativo de la función. Si la...