Interpolación

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. ASPECTOS PRÁCTICOS.
Prof. Walter Mora F. Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Interpolación polinomial Introducción 3 Forma de Lagrange del polinomio interpolante. 3.1 3.2 4 4.1 4.2 4.3 5 6 7 Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange. Nodos igualmente espaciados. Diferencias Divididas de Newton. Nodos igualmente espaciados. Forma deLagrange vs Forma de Newton.

1 2 5 7 9 12 12 15 19 20 24 30 30 35 37 43 46 52

Forma de Newton para el polinomio interpolante.

Estimación del error. Trazadores Cúbicos (Cubic Splines). Algoritmos e implementación con OOoBasic y Calc. 7.1 7.2 7.3 7.4 Forma de Lagrange del polinomio interpolante Forma modificada y forma baricéntrica de Lagrange. Forma de Newton del polinomio interpolante.Trazadores cúbicos

Solución de los Ejercicios Bibliografía

Revista digital Matemática, Educación e Internet. (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate)

PARTE I

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. ASPECTOS PRÁCTICOS.

Introducción

La interpolación polinomial es la base de muchos tipos de integración numérica y tiene otras aplicaciones teóricas. En la práctica a menudo tenemos una tabla de datos {( xi , yi), i = 0, 1, 2, ..., n}, obtenida por muestreo o experimentación. Suponemos que los datos corresponden a los valores de una función f desconocida (a veces es conocida, pero queremos cambiarla por una función más sencilla de calcular). El “ajuste de curvas” trata el problema de construir una función que aproxime muy bien estos datos (es decir, a f ). Un caso particular de ajuste de curvas es lainterpolación polinomial: En este caso se construye un polinomio P( x ) que pase por los puntos de la tabla. La interpolación polinomial consiste en estimar f ( x ∗ ) con P( x ∗ ) si x ∗ no está en la tabla pero se puede ubicar entre estos valores.

EJEMPLO I.1 Considere

los
200 −35

siguientes
300 −4.2 400 9.0

datos
450 ? 500 16.9

para
600 21.3

el
P(x)
200 - 200 400 600nitrógeno(N2 ):
T (K ) B(cm3 /mol ) 100 −160

T(K) B( m3 /mol) c

donde T es la temperatura y B es el segundo coeficiente virial1 . ¿Cuál es el segundo coeficiente virial a 450K?. Para responder la pregunta, usando interpolación polinomial, construimos un polinomio P que pase por los seis puntos de la tabla (ya veremos cómo), tal y como se muestra en la figura (I.1). Luego, el segundo coeficientevirial a 450K es aproximadamente P(450) = 13.5cm3 /mol.

- 400

- 600

- 800

Figura I.1

Polinomio interpolante

EJEMPLO I.2 Consideremos la función f definida por
∞

f (x) =

5

La integral que define a f es una integral no trivial (no se puede expresar en términos de funciones elementales). La tabla I.1 nos muestra algunos valores para f .

e−t dt, −1 ≤ x ≤ 1 t−x

x −1 −0.6−0.2 0 0.2 0.25 0.6 1.

f (x) 0.0009788055864607286 0.0010401386051341144 0.0011097929435687336 0.0011482955912753257 0.0011896108201581322 ? 0.0012820294923443982 0.0013903460525251596
Tabla I.1

Podemos usar un polinomio interpolante para interpolar f (0.25). En el mundillo del ajuste de curvas hay varias alternativas,

• Usar un polinomio interpolante. Es el método de propósito general másusado. • Usar trazadores (splines). Estas son funciones polinomiales a trozos. • Usar Polinomios trigonométricos en [0, 2π ]. Son la elección natural cuando la función f es periódica de periodo 2π. • Usar Sumas exponenciales. Se usan si conocemos que f presenta decaimiento exponencial conforme x −→ ∞. • Si los datos son aproximados (“datos experimentales”), lo conveniente sería usar MínimosCuadrados
Aquí solo vamos a tratar con interpolación polinomial y trazadores cúbicos.
Interpolación polinomial. Un problema de interpolación polinomial se especifica como sigue: da-

dos n + 1 pares ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ), ..., ( xn , yn ), siendo todos los xi ’s distintos, y yi = f ( xi ) para alguna función f ; encontrar un polinomio Pn ( x ) de grado ≤ n tal que P( xi ) = yi , i = 0, 1, 2,...