Instituto Politecnico Nacional

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMIA

VECTORES

ALUMNOS:

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GRUPO: 3EV7

MATERIA: ALGEBRA LINEAL (MATRICIAL)

PROFESORA: SUAREZ BADILLO YASMIN DENISSE

CICLO ESCOLAR: 2011-2012

MEXICO D.F, AGOSTO DE 2011
Introdución
Los vectores, que eran utilizados en mécanica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines delsiglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy.
El paso siguiente lo da Hamilton. Con Hamilton inicia elestudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de 'vector' producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades, denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de objetos en el espacio 3D. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por medio del lenguaje de los vectores.
En este tema, estudiaremos los vectores en ,las operaciones y sus propiedades. Además de algunos ejemplos, se desarrollan actividades interactivas en 3D para facilitar la apropiación de los conceptos estudiados.

Vectores
A partir de la representación de , como una recta numérica, los elementos se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas rectangularesdonde la interseccón representa a y cada se asocia con un punto de coordenada en la recta horizontal (eje ) y la coordenada en la recta vertical (eje ).

Figura 1. Punto (a,b)
Analógamente, los elementos se asocian con puntos en el espacio tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes del sistema de coordenadas rectangulares (ejes , y ).
 Figura 2. Punto (a,b,c)
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en y en . La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.
 
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Figura 3. Vector (a,b) | Figura 4. Vector (a,b,c) |
Notación
Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales como , , . Lospuntos se denotarán con letras mayúsculas tales como , , . En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como , , .
Si el punto inicial de un vector es y el punto final es , entonces

El vector nulo se denota con

Para las secciones que siguen y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de losvectores en el . Un vector en el es un ene-tuple con cada . A se le llama componente i-ésima del vector.

Operaciones Básicas
Igualdad
Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden, los mismos componentes.

  |  Definición 1 |

| Consideremos los vectores y . Decimos que si y sólo si .  |

EJEMPLO 1

Sea y , entonces .

Figura 5. Vectores distintos

Suma y restaLa suma y resta se hace componente a componente

  |  Definición 2 |

| Consideremos los vectores y .   |

EJEMPLO 2  

Sea y , entonces
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  | Figura 6. suma de vectores |
| |
  | Figura 6. resta de vectores |
Multiplicación por un escalar
Un escalamiento de un vector, por un factor , se logra multiplicando cada componente por el mismo número real
 
  | Definición 3 |

| Consideremos el vector y el escalar , entonces   |
 
EJEMPLO 3  

Sea entonces
| |
  | Figura 7. multiplicación por un escalar |

Propiedades de los vectores
 
  |  TEOREMA 1 |

|   Consideremos el vector y entonces 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. |

EJEMPLO 4  

Producto punto y norma
El producto punto (o escalar) es una...