Fisica

Cap´ ıtulo 3

Transformaciones de Lorentz. 4-vectores
Resumen
Los postulados de la Teor´ Especial de la Relatividad de Einstein permiten demostrar ıa que la formulaci´n natural de una magnitud f´ o ısica (extensiva) es en forma de 4-vector, relacionadas sus representaciones en diferentes referenciales mediante Transformaciones de Lorentz. Las transformaciones relativistas entre lascomponentes de 4-vectores de diferentes magnitudes f´ ısicas –desplazamientos, velocidades, fuerzas, frecuencias, direcciones– en diferentes referenciales inerciales se obtienen aplicando el Principio de Relatividad y las transformaciones de Lorentz. El conocido efecto de contracci´n de o longitudes no es un efecto que pueda obtenerse mediante transformaciones de Lorentz.

3.1

Espacio de Minkowski.4-vectores

El formalismo matem´tico natural de la Relatividad Especial es el ´lgebra de 4-vectores, a a utilizando transformaciones de Lorentz para trasformar dichos 4-vectores entre sistemas de referencia inerciales 1 .

3.1.1

Transformaci´n de Lorentz o

La Teor´ Especial de la Relatividad de Einstein se basa en los dos postulados: ıa 1. Principio de Relatividad. De acuerdo con elPrincipio de Relatividad, las leyes de la f´ ısica, incluyendo las leyes de la mec´nica relativista y de la ´ptica, electroa o
1

N M J Woodhouse, Special Relativity, Springer-Verlag London (2003), Cap. 5

77

78

Cap´ ıtulo 3. Transformaciones de Lorentz. 4-vectores magnetismo y f´ ısica nuclear, son las mismas, tienen la misma forma funcional, en todos los sistemas de referencia inerciales.Los sistemas de referencia inerciales se encuentran en movimiento uniforme unos respecto de otros. 2. Constancia de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz en el vac´ c es ıo una constante. Todos los observadores en referenciales inerciales miden la misma velocidad para la luz y la velocidad de la luz no depende de la velocidad del cuerpo que la emite.

Sea un sistema de referencia S0 ,con tres coordenadas espaciales y una temporal. Un evento o suceso en S0 viene caracterizado por las coordenadas (x, y, z, ct). En un referencial SA que se mueve con velocidad V respecto de S0 , en configuraci´n est´ndar, o a el mismo suceso vendr´ caracterizado por las coordenadas (xA , yA , zA , ctA ). En la cona figuraci´n est´ndar, el referencial SA se mueve con velocidad V = V i, a lo largo deleje o a X, con sus ejes paralelos a los ejes de S0 y de tal manera que a tiempo t = tA = 0, los or´ ıgenes de ambos referenciales coinciden. Sea la emisi´n de un fot´n desde el origen del referencial S0 , a tiempo t = 0. En o o ese instante, el origen del referencial SA coincide con el origen de S0 y tA = 0. Al cabo de un cierto tiempo, t, el fot´n ha alcanzado la posici´n (x, y, z) en S0 , por loque o o se describe con coordenadas (x, y, z, ct). Ese suceso se describe en SA con coordenadas (xA , yA , zA , ctA ). La exigencia de que en ambos referenciales se mida la misma velocidad de la luz, c (Segundo Postulado de la Teor´ Especial de la Relatividad), exige que ıa x2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ,
2 2 x2 + yA + zA = c2 t2 . A A

Se puede demostrar 2 que la transformaci´n entre coordenadas deSA y S0 que cumple o esta condici´n de constancia de la velocidad de la luz es: o x−Vt xA = = γ(V ) [x − β(V )ct] , 1 − V 2 /c2 yA = y , zA = z , ctA = c t − V x/c2 = γ(V ) [ct − β(V )x] , 1 − V 2 /c2

donde β(V ) = V /c y γ(V ) = (1 − β 2 (V ))−1/2 . Se utiliza ct en vez de unicamente t ´ para que resalte la simetr´ entre x y ct. Por simetr´ (cambiando el sub´ ıa ıa ındice A por la ausencia desub´ ındice y la velocidad V por −V ): x =
2

xA + V tA = γ(V ) [xA − β(V )ctA ] , 1 − V 2 /c2

J.-M. L´vy-Leblond, One more derivation of the Lorentz transformation, Am. J. Phys. 44, 271-277 e (1976)

3.1. Espacio de Minkowski. 4-vectores y = yA , z = zA , tA + V xA /c2 = γ(V ) [ctA + β(V )xA ] . ct = c 1 − V 2 /c2

79

Estas ecuaciones constituyen las transformaciones de Lorentz...