Espacio vectorial

Definición: Un Espacio Vectorial real V está formado por un conjunto de vectores,
y un conjunto de escalares (números reales), y está dotado por dos operaciones
suma de vectores y multiplicaciónpor un escalar tal que para cada par de vectores
A∈V y B∈V y ∀c∈R se tiene: A+B ∈ V y cA ∈ V de tal forma que se
satisfacen las propiedades del Teorema anterior.

Observación:
Si A = ( a1 , a2 ) setiene:
(a1, a2) = (a1, 0) + (0, a2) = a1(1, 0) +
a2(0, 1)
Los vectores (1, 0) y (0, 1) son
vectores de magnitud 1 por lo que se
llaman vectores unitarios y los
denotamos por:
i = (1, 0 ) , j= ( 0 , 1)
Representación geométrica de i y j:

Propiedades de los espacios vectoriales
Sea (V, K, +, . ) un espacio vectorial
1. 0 . u = O ∀ u ∈ V
2. α . O = O , ∀ α ∈ K
3. α . u = 0 → α = 0 óu = O
4. (- α)u = -(αu) , ∀u∈V y ∀α∈K. En particular -u = (-1)u = -( 1u)

SUBESPACIOS
Definición: Dado (V, K, +, . ) un espacio vectorial y dado S ⊂ V un subconjunto
no vacío de V, decimos que(S, K, +, . ) es un subespacio de (V, K, +, . ) si y sólo
si (S, K, +, . ) es un espacio vectorial.
Ejemplo 1: Sea (R2, R, +, . ) y sea S = { (x,y) ∈ R2 / y = 2x } S es un
subespacio de R2. Enefecto, S ⊂ R2 y cumple con todas las propiedades para (S,
R, +) y (S, R, .) , luego S es un espacio vectorial.
Proposición: Si S ⊂ V , S ≠ ∅ y S es cerrado con respecto a la suma y al
producto por unescalar entonces (S, K, +, . ) es un subespacio de (V, K, +, . ).
Ejemplo 2: Verifiquemos que S, dado en el ejemplo 1, es un subespacio de
(R2, R, +, . ).
1. S ≠ ∅ ? Si porque (1,2) ∈ R2
2. S ⊂ V ?Cierto, por definición de S todos los elementos de S están en R2.
3. S es cerrado respecto a la suma ? ( Si a , b ∈ S → a + b ∈ S ?)
Sea a (x , y) y b (z, w) → y = 2x , w = 2z Luego
a + b = (x,y)+ (z,w) = (x,2x)+ (z,2z) = (x + z,2x + 2z) = (x + z ,2(x + z))∈ S
4. S es cerrado respecto al producto por un escalar?
(Si α∈R y a∈S → αa ∈ S ?)
α a =α (x, y) =α (x, 2x) = (α x , 2α x)∈ S
Luego...