Ensayos buenos

EXAMEN PARCIAL I, segunda parte (Espacios Vectoriales) 1. Demuestre que los siguientes conjuntos no son espacios vectoriales. Diga cu´les propiedades no se a cumplen y de un ejemplo en cada caso. a)El conjunto de matrices no singulares de 2 × 2 con operaciones normales. b) El conjunto de matrices singulares de 2 × 2 con operaciones normales.   1 2. Considera el vector x =  1 . Determina siel conjunto de matrices G = {A ∈ R3×3 |Ax = 0} es un 1 subespacio de R3×3 con operaciones normales. 3. Determina una base para cada uno de los subespacios de R4 siguientes: a) El conjunto de todos losvectores cuyas componentes son iguales. b) El conjunto de todos los vectores tales que la suma de sus componentes es cero. c) El conjunto de todos los vectores perpendiculares a (1, 1, 0, 0) y (1, 0,1, 1). d ) El conjunto de todos los vectores x tales que 1 0 1 0 0 1 1 2 x=0

4. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Demuestre lo siguiente: a) el vector cero es unico. ´ b) el inverso decualquier vector v ∈ V es unico. ´ c) α0 = 0 ∀α ∈ K, 0 ∈ V 5. Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogeneo a11 x1 + · · · . . . am1 x1 + · · · con coeficientes aij sobre un campo K. a)Demuestra que el conjunto de soluciones forma un subespacio de K n . b) Demuestra que si el sistema no es homogeneo, entonces el conjunto soluci´n no es subespacio de o n. K 6. Explica claramenteporque un espacio V sobre K, de dimensi´n n, siempre es isomorfo a K n . o 7. Un M´dulo es una estructura algebraica similar al espacio vectorial con la diferencia de que los escalares o se sacan de unanillo y no de un campo. Considera el conjunto V = R3 [x] de vectores de tres polinomios 2 de grado 2. a) Determina una base para V como espacio vectorial sobre el campo R. b) Determina una base para Vcomo m´dulo sobre el anillo R[x]. o 8. Sea f : V → U una funci´n lineal biyectiva. Pruebe que la funci´n inversa f −1 : U → V tambi´n es o o e lineal. +a1n xn = 0 . . . +amn xn = 0

9. Demuestre,...