Ecuaciones Diferenciales Parciales

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Física y Matemáticas
Departamento de Matemáticas

Notas para el Curso:

Ecuaciones
Diferenciales
Parciales I
de la Carrera de Ingeniería Matemática

Programa de Servicio Social: Ecuaciones Diferenciales Parciales en Ciencias e Ingeniería
Código y Clave: 100112000, 02/360a/6749
Prestatario: Escuela Superior de Física y MatemáticasPrestador: Paulo César Manrique Mirón, Boleta: 2004330149
Responsable directo del prestador: Dr. Edmundo del Valle Gallegos (Profesor de la Materia)
Clave de la Materia: 5MM1
Revisión: 1.0
Fecha: 1 de Junio de 2007

1
Las notas que se muestran en ´sta su primera revisi´n fueron elaboradas como here
o
ramienta de apoyo para el curso “Ecuaciones Diferenciales Parciales I” que se imparte enel quinto semestre de la carrera de Ingenier´ Matem´tica que ofrece la Escuela Superior
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a
de F´
ısica y Matem´ticas del Instituto Polit´cnico Nacional. Las notas aqu´ presentadas
a
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cubren s´lo una parte del mencionado curso ya que los temas que en ´l se tratan son muy
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e
extensos y ser´ pr´cticamente imposible pensar en la elaboraci´n y transcripci´n de las
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o
o
notascompletas en tan s´lo un semestre y con un s´lo estudiante de la misma carrera.
o
o
De esta manera, lo aqu´ presentado se ir´ enriqueciendo con la participaci´n de uno o dos
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o
estudiantes quienes complementar´n el trabajo con algunos temas faltantes as´ como con
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ı
un problemario que incluir´ algunos problemas resueltos y otros m´s propuestos con los
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que el estudianteinteresado podr´ poner a prueba los conocimientos que haya adquirido
a
en el aula, complementados con los que pueda aportarle estas notas. Ellas no pretenden
sustituir ni a los libros de textos ni mucho menos al profesor, son tan solo unas notas
que no aspiran a otra cosa mas que poner a su alcance la clasificaci´n, notaci´n, y los
o
o
m´todos exactos m´s elementales en la soluci´n de las ecuacionesdiferenciales parciales.
e
a
o
No est´ de m´s mencionar que el estudiante deber´ reunir ciertos requisitos previos para
a
a
a
que su desempe˜o en una materia como la de ecuaciones diferenciales parciales entre los
n
que podemos destacar el ´lgebra, c´lculo diferencial e integral as´ como los m´todos elea
a
ı
e
mentales en la soluci´n de ecuaciones diferenciales ordinarias. De no seras´ encontrar´ un
o
ı,
a
camino dif´ de seguir con una meta probablemente inalcanzable. Dicho en otras palabras,
ıcil
recomendamos al estudiante hacer un alto en su ansioso anhelo por alcanzar la meta para
trabajar en s´ mismo identificando sus debilidades, y una vez logrado este trascendental
ı
paso buscar la estrategia id´nea para fortalecerse y as´ seguir con paso firme y seguro lo
o
ıque se ha trazado como quiz´ una de las metas m´s importantes de su vida.
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a
Paulo C´sar Manrique Mir´n, estudiante de la Carrera de Ingenier´ Matem´tica
e
o
ıa
a
y Dr. Edmundo del Valle Gallegos, profesor de la materia
1 de junio de 2007

Cap´
ıtulo 1
Clasificaci´n de EDPs
o
Una Ecuaci´n Diferencial Parcial (EDP) es una ecuaci´n que relaciona una funo
o
ci´n desconocida,llamada variable dependiente, u(x1 , . . . , xn ), con las variables indepeno
dientes x1 , . . . , xn y un n´mero finito de derivadas parciales de u, por ejemplo,
u
H x1 , . . . , xn , u,

∂u ∂ 2 u
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
,...,
, 2,..., 2 ,...,
,...,
∂x1
∂xn ∂x1
∂xn
∂x1 ∂x2
∂xn−1 ∂xn

=0

(1.1)

El orden de una EDP es aqu´l de la derivada de mayor orden, por ejemplo la ecuaci´n
e
oanterior es de orden 2. Una EDP es llamada lineal si lo es la funci´n desconocida y sus
o
derivadas parciales, por ejemplo:
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
+ 2B(x, y)
+ C(x, y) 2 + D(x, y)
+ E(x, y)
+ G(x, y)u = F (x, y)
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂x
∂y
(1.2)
es una ecuaci´n lineal de segundo orden.
o

A(x, y)

Si A, B, C, D, E, y G son independientes de x, y, se dice entonces que la ecuaci´n difero...