ecuaciones cuadraticas
Páginas: 5 (1130 palabras)
Publicado: 11 de agosto de 2014
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Algebra
Resumen y Ejercicios Ecuaciones cuadráticas (2)
I. Una ecuación cuadrática con coeficientes reales es una ecuación de la forma
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
siendo a, b, c números reales.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
x 2 − 4 x = 0 ; 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ; x 2 + 5 x + 6 = 0 ; 5 x 2 − 20 = 0 ; x 2 + 1 = 0
II. Raíz o solución de una ecuación cuadrática.
Un número r es unaraiz o una solución de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , si y
solo si, al sustituir x por r , se cumple la igualdad. Es decir: a ⋅ r 2 + b ⋅ r + c = 0
Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuación: 6 x 2 − mx + 15 = 0 , sabiendo que una
de sus raíces es: 3 .
Solución. Sustituyendo x=3 en la ecuación, se obtiene: 6 ⋅ 32 − m ⋅ 3 + 15 = 0 , de donde
m = 23.
III. Resolver unaecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (o soluciones) de la
ecuación cuadrática.
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Los más usuales son:
a) Factorización
b) Completando el cuadrado de un binomio
c) Fórmula cuadrática.
a) Método de Factorización
Este método se usa preferentemente cuando la expresión ax 2 + bx + c se puede
factorizar o descomponer en unproducto de dos binomios lineales de manera rápida.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 + 2 x − 63 = 0
Ejemplo 2
Resolver la ecuación x 2 + 7 x = 0
x 2 + 2 x − 63 = 0
( x + 9)( x − 7) = 0
x + 9 = 0, o, x − 7 = 0
x1 = −9; x 2 = 7
x2 + 7x = 0
x ( x + 7) = 0
x = 0, o, x + 7 = 0
x1 = 0; x 2 = −7
Ejercicios (1)
Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) x 2 − 4 x − 45 = 0
4) x 2 − 37 x = 0
5) 5 x 2 + 12 x = 0
6) x 2 − 81 = 0
7) x 2 − 23x + 120 = 0
8) x 2 + x − 72 = 0
9) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
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b) Método Completación de un binomio al cuadrado.
Este método permite resolver cualquier ecuación cuadrática. Se aplica la siguiente
propiedad: si A2 = Bentonces A = ± B .
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 + 2 x − 63 = 0
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 3x 2 − 12 x + 5 = 0
3( x 2 − 4 x ) + 5 = 0
x 2 + 2 x − 63 = 0
3( x 2 − 4 x + 4) − 12 = −5
x 2 + 2 x = 63
3( x − 2) 2 = 7
x 2 + 2 x + 1 = 63 + 1
7
3
7
x−2= ±
3
( x + 1) 2 = 64
( x − 2) 2 =
x + 1 = ± 64
x = −1 ± 64
x = −1 + 8, o, x = −1 − 8
x = 7, o, x = −9
7
3x = 2±
Ejercicios (2)
Usando el método de completación de cuadrado resuelva las siguientes ecuaciones
cuadráticas:
1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
Nota. El método de completación de cuadrado aplicado a la ecuación general
ax 2 + bx + c = 0 , proporciona una fórmula con la cual se puede resolver de manera
directa cualquier ecuacióncuadrática.
c) Método de fórmula.
Resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , siendo a ≠ 0 (expresada en la forma canónica).
b ⎞
⎛
a⎜ x 2 + x ⎟ = −c
a ⎠
⎝
b
c
x2 + x = −
a
a
2
x2 +
b
c ⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
x+⎜ ⎟ = − +⎜ ⎟
a
a ⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
2
− 4ac + b 2
b ⎞
⎛
⎜x +
⎟ =
2a ⎠
4a 2
⎝
2
x+
b
b 2 − 4ac
=±
2a
4a 2
b
b 2 − 4ac
±
x=−
2a
2a
Por lo tanto, las raíces de laecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 (escrita en la forma
canónica) se pueden obtener usando la fórmula x =
− b ± b 2 − 4ac
.
2a
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Ejercicios (3)
Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) x 2 − 4 x − 45 = 0
4) x 2 − 37 x = 0
5) 5 x 2 + 12 x = 0
6) x 2 − 81 = 0
7) x 2 −23x + 120 = 0
8) x 2 + x − 72 = 0
9) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
10) 6 x 2 + 7 x − 3 = 0
13) ( x + 7)( x + 3) = 21
11) 39 x 2 − 83 x = 56
12) 7 x 2 − 13x − 1 = 0
14) (5 x − 3)(2 x + 1) = 46 − x 15) 5 x( x − 6) = x − 30
16) ax 2 + bx − c = 0
17) 6m 2 + bmx = 2b 2 x 2
18) (2 x + c) 2 = 2 x − c
IV. Otras ecuaciones (que no son ecuaciones cuadráticas) se pueden resolver...
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Resumen y Ejercicios Ecuaciones cuadráticas (2)
I. Una ecuación cuadrática con coeficientes reales es una ecuación de la forma
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
siendo a, b, c números reales.
Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
x 2 − 4 x = 0 ; 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ; x 2 + 5 x + 6 = 0 ; 5 x 2 − 20 = 0 ; x 2 + 1 = 0
II. Raíz o solución de una ecuación cuadrática.
Un número r es unaraiz o una solución de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , si y
solo si, al sustituir x por r , se cumple la igualdad. Es decir: a ⋅ r 2 + b ⋅ r + c = 0
Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuación: 6 x 2 − mx + 15 = 0 , sabiendo que una
de sus raíces es: 3 .
Solución. Sustituyendo x=3 en la ecuación, se obtiene: 6 ⋅ 32 − m ⋅ 3 + 15 = 0 , de donde
m = 23.
III. Resolver unaecuación cuadrática significa, hallar todas las raíces (o soluciones) de la
ecuación cuadrática.
Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Los más usuales son:
a) Factorización
b) Completando el cuadrado de un binomio
c) Fórmula cuadrática.
a) Método de Factorización
Este método se usa preferentemente cuando la expresión ax 2 + bx + c se puede
factorizar o descomponer en unproducto de dos binomios lineales de manera rápida.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 + 2 x − 63 = 0
Ejemplo 2
Resolver la ecuación x 2 + 7 x = 0
x 2 + 2 x − 63 = 0
( x + 9)( x − 7) = 0
x + 9 = 0, o, x − 7 = 0
x1 = −9; x 2 = 7
x2 + 7x = 0
x ( x + 7) = 0
x = 0, o, x + 7 = 0
x1 = 0; x 2 = −7
Ejercicios (1)
Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) x 2 − 4 x − 45 = 0
4) x 2 − 37 x = 0
5) 5 x 2 + 12 x = 0
6) x 2 − 81 = 0
7) x 2 − 23x + 120 = 0
8) x 2 + x − 72 = 0
9) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
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b) Método Completación de un binomio al cuadrado.
Este método permite resolver cualquier ecuación cuadrática. Se aplica la siguiente
propiedad: si A2 = Bentonces A = ± B .
Ejemplo 1
Resolver la ecuación x 2 + 2 x − 63 = 0
Ejemplo 2
Resolver la ecuación 3x 2 − 12 x + 5 = 0
3( x 2 − 4 x ) + 5 = 0
x 2 + 2 x − 63 = 0
3( x 2 − 4 x + 4) − 12 = −5
x 2 + 2 x = 63
3( x − 2) 2 = 7
x 2 + 2 x + 1 = 63 + 1
7
3
7
x−2= ±
3
( x + 1) 2 = 64
( x − 2) 2 =
x + 1 = ± 64
x = −1 ± 64
x = −1 + 8, o, x = −1 − 8
x = 7, o, x = −9
7
3x = 2±
Ejercicios (2)
Usando el método de completación de cuadrado resuelva las siguientes ecuaciones
cuadráticas:
1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
Nota. El método de completación de cuadrado aplicado a la ecuación general
ax 2 + bx + c = 0 , proporciona una fórmula con la cual se puede resolver de manera
directa cualquier ecuacióncuadrática.
c) Método de fórmula.
Resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , siendo a ≠ 0 (expresada en la forma canónica).
b ⎞
⎛
a⎜ x 2 + x ⎟ = −c
a ⎠
⎝
b
c
x2 + x = −
a
a
2
x2 +
b
c ⎛ b ⎞
⎛ b ⎞
x+⎜ ⎟ = − +⎜ ⎟
a
a ⎝ 2a ⎠
⎝ 2a ⎠
2
− 4ac + b 2
b ⎞
⎛
⎜x +
⎟ =
2a ⎠
4a 2
⎝
2
x+
b
b 2 − 4ac
=±
2a
4a 2
b
b 2 − 4ac
±
x=−
2a
2a
Por lo tanto, las raíces de laecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 (escrita en la forma
canónica) se pueden obtener usando la fórmula x =
− b ± b 2 − 4ac
.
2a
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Ejercicios (3)
Usando este procedimiento resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1) x 2 + 15 x + 56 = 0
2) x 2 + 3 x − 88 = 0
3) x 2 − 4 x − 45 = 0
4) x 2 − 37 x = 0
5) 5 x 2 + 12 x = 0
6) x 2 − 81 = 0
7) x 2 −23x + 120 = 0
8) x 2 + x − 72 = 0
9) 6 x 2 − 19 x + 10 = 0
10) 6 x 2 + 7 x − 3 = 0
13) ( x + 7)( x + 3) = 21
11) 39 x 2 − 83 x = 56
12) 7 x 2 − 13x − 1 = 0
14) (5 x − 3)(2 x + 1) = 46 − x 15) 5 x( x − 6) = x − 30
16) ax 2 + bx − c = 0
17) 6m 2 + bmx = 2b 2 x 2
18) (2 x + c) 2 = 2 x − c
IV. Otras ecuaciones (que no son ecuaciones cuadráticas) se pueden resolver...
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