ecuacion bidimensional de la onda

ECUACIÓN BIDIMENSIONAL DE ONDA


Se analizará la ecuación bidimensional a través de un movimiento vibratorio planar, como la vibración de una membrana elástica.

El ensayo para determinar las ecuaciones diferenciales de equilibrio consiste en fijar la membrana elástica, similar a un parche de un tambor pero de forma rectangular, sujetándola por sus cuatro bordes. La membrana, que estátensa, se golpea en la parte central de manera que comience a vibrar, y se evalúa el desplazamiento que se produce en sentido vertical.

Las consideraciones preliminares son similares a las que se realizaron para el análisis del movimiento vibratorio de una cuerda, pero teniendo en cuenta que ahora existen dos dimensiones a contemplar, a saber:

1) La membrana es flexible y delgada, y no ofreceresistencia a la flexión. Se desplaza en sentido vertical, sin modificar sus dimensiones transversales (no se “estira”).

2) Es homogénea, siendo su masa por unidad de área constante y su espesor uniforme e infinitesimal.

3) La tensión por unidad de longitud T [kg/cm] que se observa sobre los bordes del diferencial de área considerado es la misma en todas direcciones y no cambia al moverse lamembrana.

4) El desplazamiento u = u (x, y, t) es pequeño frente a las dimensiones de la membrana.

5) En el análisis se desprecia la aceleración de la gravedad “g”.

Otras simplificaciones que se hacen son las siguientes: la fuerza T por unidad de longitud está aplicada en el centro de cada borde del área incremental ΔA = ΔxΔy

Los ángulos son muy pequeños, luego las componenteshorizontales de las tensiones son afectadas por cos α ≈ 1 y cos β ≈ 1; y serán iguales y opuestas, luego sólo se considerará un desplazamiento vertical:

T Δy sen β – T Δy sen α

pero como los ángulos son pequeños, se puede asimilar el seno a la tangente, o sea:

T Δy (sen β – sen α) ≈ T Δy (tg β – tg α)

Donde las tangentes pueden representarse por las derivadas de la ordenada respecto dela abscisa:

T Δy (tg β – tg α) = T Δy ( [∂u/∂x]x+Δx, y1 – [∂u/∂x]x, y2 )









Del mismo modo se pueden considerar las componentes verticales de las tensiones que actúan sobre los otros dos bordes del rectángulo incremental de área considerado:

T Δx ( [∂u/∂y]x1, y+Δy – [∂u/∂y]x2, y )

Por Ley de Newton se debecumplir:


∑ Fi = m a


siendo las Fi las fuerzas actuantes en sentido vertical, en este caso las tensiones componente vertical. Pero además la masa es:

m = ρ ΔA

donde:

ΔA = Δx Δy

siendo ρ la masa por unidad de área en [g/cm2]


y también:

a = ∂2u /∂t2

la aceleración en sentido vertical, propia del movimiento, obviando la aceleración de la gravedad “g”.

Por lotanto, quedará:


ρ Δx Δy [∂2u/∂t2] = T Δy ([∂u/∂x]x+Δx, y1 – [∂u/∂x]x, y2) + T Δx ([∂u/∂y]x1, y+Δy – [∂u/∂y]x2, y)


lo que también se puede representar, cambiando la notación de las derivadas parciales, del siguiente modo:


ρ Δx Δy [∂2u/∂t2] = T Δy ([ux]x+Δx, y1 – [ux]x, y2) + T Δx ([uy]x1, y+Δy – [uy]x2, y)


si ahora se pasan los incrementos de x é y al segundo miembro y se toma ellímite de ese cociente incremental, para Δx → 0 y para Δy → 0; se obtendrá la derivada parcial segunda, a saber:


[∂2u/∂t2] = T/ρ (∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2)

siendo:

T/ρ = c2

Luego:

∂2u/∂t2 = c2 (∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2)


que es la Ecuación Bidimensional de Onda.

Para resolverla se debe recurrir a las condiciones de contorno, obviamente el desplazamiento es nulo en los bordes de la membranaque se encuentran fijos, y esto da en parte las condiciones de contorno, pero las restantes tienen que ver (como en el caso de la cuerda) con el desplazamiento inicial y la velocidad inicial, considerados para t = 0


Condiciones de contorno:

u (0,y,t) = u (x,0,t) = u (a,y,t) = u (x,b,t) = 0

u (x,y,0) = f (x,y) desplazamiento inicial

[∂u/∂t]t=0 = g (x,y) velocidad inicial...