Derivadas

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CAPITULO 2

Derivada de una funci´on
Licda. Elsie Hern´andez Sabor´ıo

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica

···
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´
editos

Edici´
on y composici´
on final:
Gr´
aficos:

´
Rosario Alvarez,
1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´
on, Marianela Abarca, Lisseth Angulo
yWalter Mora.
Evelyn Ag¨
uero.
Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn Ag¨
uero.

Comentarios y correcciones:

escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´
on impresa:
Edici´
on LaTeX:

Contents
2.1

Derivada de una funci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
2.1.2 La derivada de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Notaciones para la derivada de una funci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Teoremas sobre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
2.1.6 Derivada de una funci´on compuesta (Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Diferenciales. Interpretaci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.9 Derivada de la funci´on logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Derivada de la funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.11 Derivadas de la funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.12 Derivadas de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.13 Las funciones trigonom´etricas inversas y sus derivadas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.14 Funciones param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.15 Funciones impl´ıcitas y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.16 Teorema de Rolle (o teorema sobre las ra´ıces de la derivada) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.17 Teorema del valor medio para derivadas(Teorema de Lagrange) . . . . . . . . . . . . . .
2.1.18 Teorema de Gauchy del valor medio (o extensi´on del teorema del valor medio para derivadas)
2.1.19 Regla de L’Hˆopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo 2: Derivadas

2.1

Derivada de una funci´
on

2.1.1

Introducci´
on

Elproblema de la tangente
“Muchos de los problemas importantes del an´alisis matem´atico pueden transferirse o hacerse depender de un
problema b´asico que ha sido de inter´es para los matem´aticos desde los griegos (alrededor de 300 − 200a.deJ.C).
Es ´este el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto espec´ıfico a ella.
Este problema fue resuelto por m´etodos especiales en ungran n´
umero de ejemplos aislados a´
un en la temprana historia de las matem´aticas. Por ejemplo, es bastante f´acil resolver el problema si la curva es un c´ırculo,
y todo estudiante ha visto esta soluci´on en su geometr´ıa de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el
tiempo de Isacc Newton (1642 − 1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 − 1716) que se dio un m´etodo generalsistem´atico para obtener la soluci´on. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invenci´on del c´alculo.
Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco inter´es a los no matem´aticos, el hecho es que las
t´enicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la
tecnolog´ıa actuales. Por ejemplo, la direcci´on del movimiento de un...