Derivada direccional
Páginas: 4 (853 palabras)
Publicado: 22 de septiembre de 2014
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TEMA:
Derivada Direccional – Gradiente (en la dirección de un vector)
Ecuación del Plano Tangente – Recta Normal a la Superficie
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Derivadasparciales – Vectores en R² y R³
producto escalar – producto vectorial
EJERCICIOS RESUELTOS
La derivada direccional de una función en un punto y en la dirección de un vector unitario es, pordefinición, el límite de un cociente incremental siempre que éste exista. Es decir, un número y dicho número representa ….. ¿qué representa?
El gradiente de una función de dos variables en un punto esun vector de R² que se obtiene a partir de las derivadas parciales de la función en dicho punto. Al graficar en el plano xy este vector y la curva de nivel que pasa por el punto se ve que….. ¿cómoson el vector y la curva? ¿dónde ubican el origen del vector?
Volviendo al cálculo de la derivada direccional, si f cumple con ciertos requisitos……. ¿cuáles son? entonces el cálculo se puedesimplificar usando el gradiente de la función en el punto dado.
Ejemplo:
Se busca calcular la derivada direccional de f(x,y) = xy + y 2 en P(1,2) y en la dirección del vector unitario =usando la definición:
Duf(1,2)=== = =
= 26/5 el límite existe y es un número
A pesar de ser una función polinómica, muy sencilla, para calcular esta derivada hubo que hacer muchos cálculos a finde salvar la indeterminación
Esta función tiene la propiedad de ser diferenciable en todo punto de R² ¿por qué? y por ende en P(1,2) entonces, usando el gradiente en el punto, tenemos una formarápida y sencilla para el cálculo: Duf(1,2) = f(1,2) .
(x,y) = y (x,y) = x +2.y por lo tanto el gradiente es el vector:
f(1,2) = (1,2) + (1,2) =calculando el producto escalar entre el vector gradiente y el vector unitario
Duf(1,2) = f(1,2) . =().( ) = 2 . 3/5 + 5 . 4/5 = 6/5 + 4 = 26/5
como era de esperar.
Antes de aplicar esta forma...
TEMA:
Derivada Direccional – Gradiente (en la dirección de un vector)
Ecuación del Plano Tangente – Recta Normal a la Superficie
CONOCIMIENTOS PREVIOS:
Derivadasparciales – Vectores en R² y R³
producto escalar – producto vectorial
EJERCICIOS RESUELTOS
La derivada direccional de una función en un punto y en la dirección de un vector unitario es, pordefinición, el límite de un cociente incremental siempre que éste exista. Es decir, un número y dicho número representa ….. ¿qué representa?
El gradiente de una función de dos variables en un punto esun vector de R² que se obtiene a partir de las derivadas parciales de la función en dicho punto. Al graficar en el plano xy este vector y la curva de nivel que pasa por el punto se ve que….. ¿cómoson el vector y la curva? ¿dónde ubican el origen del vector?
Volviendo al cálculo de la derivada direccional, si f cumple con ciertos requisitos……. ¿cuáles son? entonces el cálculo se puedesimplificar usando el gradiente de la función en el punto dado.
Ejemplo:
Se busca calcular la derivada direccional de f(x,y) = xy + y 2 en P(1,2) y en la dirección del vector unitario =usando la definición:
Duf(1,2)=== = =
= 26/5 el límite existe y es un número
A pesar de ser una función polinómica, muy sencilla, para calcular esta derivada hubo que hacer muchos cálculos a finde salvar la indeterminación
Esta función tiene la propiedad de ser diferenciable en todo punto de R² ¿por qué? y por ende en P(1,2) entonces, usando el gradiente en el punto, tenemos una formarápida y sencilla para el cálculo: Duf(1,2) = f(1,2) .
(x,y) = y (x,y) = x +2.y por lo tanto el gradiente es el vector:
f(1,2) = (1,2) + (1,2) =calculando el producto escalar entre el vector gradiente y el vector unitario
Duf(1,2) = f(1,2) . =().( ) = 2 . 3/5 + 5 . 4/5 = 6/5 + 4 = 26/5
como era de esperar.
Antes de aplicar esta forma...
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