derecho

El copo de nieve de Sierpinski
 
 

 
 
por Laura Escobar Vega
la-escob@uniandes.edu.co
 
Estudiante de Cálculo Integral de Honores
Universidad de Los Andes  Bogotá - Colombia
Semestre 1 del 2005
 
 
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Problema: Mostrar una figura plana cerrada en la que se dé el paradójico hecho de que su perímetrosea infinito pero el área que encierra sea finita.
 
Este problema surgió a propósito de un interesante ejercicio del libro de Stewart, titulado “La trompeta del arcángel Gabriel”, referido a áreas de superficies de revolución, en el que un sólido de revolución presenta una superficie que tiene área infinita, pero que encierra un volumen finito.
 
Véase James Stewart, Calculus: EarlyTranscendentals, Fifth Edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont CA, 2003 p. 559 (Exercise 25 in Section 8.2: Area of a Surface of Revolution).
 
 
 
Solución: Una figura plana cerrada que tiene perímetro infinito pero encierra un área finita es el fractal llamado copo de nieve de Sierpinski o también curva de Koch.
 
Tal como puede apreciarse en la Figura 1, este fractal se forma partiendo de untriángulo equilátero cuyos lados tienen longitud , al que llamaremos fractal de Nivel 0. En una primera transformación, cada lado se divide en tres segmentos de igual longitud. El segmento del medio se retira y se remplaza por dos segmentos de longitud  que forman con los segmentos adyacentes un ángulo . La figura que se obtiene es el fractal del Nivel 1.
 
 



 
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
 
  
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
 
Figura 1. Los distintos niveles del copo de nieve de Sierpinski.
 
En una segunda transformación, se vuelve a dividir cada uno de los segmentos obtenidos en tres segmentos de igual longitud, se retiran los segmentos del medio y se remplazan nuevamente por dos segmentos, que tienen una longitud esta vez de , que forman con los segmentos adyacentes un ángulo. Con esto se obtiene el fractal de Nivel 2.
 
Este proceso de transformación se continúa sucesivamente. Se entiende que el copo de nieve de Sierpinski, al que nos referimos aquí, es la figura que se obtiene cuando el número  correspondiente al nivel del fractal tiene a infinito. Su borde es una curva densamente quebrada que tiene la notable propiedad de que sus partes son autosemejantes conel segmento total al que pertenecen.
 
 
El perímetro
 
Para encontrar el perímetro de este fractal  se observan detenidamente las primeras transformaciones con el fin de encontrar una serie que las generalice.
 
 
 
Nivel
 
Número de segmentos agregados
 
Longitud de los segmentos agregados
 
 
Perímetro
0
0
0

1
3


2



3



…
…
…
…




 
 
Esimportante anotar  lo siguiente: cada vez que se agrega un par de segmentos en uno de los lados, el perímetro se aumenta en la longitud de uno solo de ellos puesto que el segmento del medio se retira.
 
 
 
(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)
 
 
 
¡Un ejemplo muy bien elegido porque es verdaderamente hermoso, Laura!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En los Comentarios adicionales
el lectorhallará un programa que desarrollé en Java para ilustrar este trabajo de Laura, en el que se puede apreciar el efecto que tiene el ángulo  en la forma general de este fractal.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Laura dibuja el fractal en el tablero al comenzar su exposición.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta tabla de Laura es muy esclarecedora y permite construir fácilmente laserie que se necesita.
Entonces, la serie para hallar el perímetro  del fractal cuando se hacen infinitas transformaciones es la siguiente:
 
.
 
Se trata de una serie geométrica cuya razón es  y en la que . Entonces, como , la serie diverge. Además diverge  a  porque es claro que si  se eleva sucesivamente a una potencia entera  el resultado va a ir aumentando y este efecto será aún mayor si...