Cuartiles Deciles y Percentiles

Introducción General.
Las medias de posición, también conocidas como otras medidas de dispersión, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.
Teorema
Los cuartiles son los tres valores que dividen un conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmenteiguales.
Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

Datos Agrupados
Como los cuartiles adquierensu mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:


Dónde:
Lk = Límite real inferior de la clase del cuartil k
n = Número de datos
Fk = Frecuencia acumulada de la clase que antecede a laclase del cuartil k.
fk = Frecuencia de la clase del cuartil k
c = Longitud del intervalo de la clase del cuartil k
Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente:
El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% delas observaciones.
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:

Dónde:
L1 = límite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase
El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico osimilar a la mediana, Q2 = Md), es el menor valor que es mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores.
Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:



Dónde:
Ll = límite inferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
Fl= la frecuencia de la clase quecontiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase
El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones.
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:



Dónde:
L1 = límiteinferior de la clase que lo contiene
P = valor que representa la posición de la medida
f1 = la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
Fa-1 = frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
Ic = intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentily el tercer cuartil 75% percentil.

Para Datos No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:

El primer cuartil:
Cuando n es par:

Cuando n es impar:





Para el tercer cuartil
Cuando n es par:


Cuando n es impar:



Ejercicios de cuartiles
Datos agrupados:
1. Calcular los cuadriles de la distribución de la tabla.
Clase
Fi
Fi50-60
8
8
60-70
10
18
70-80
16
34
80-90
14
48
90-100
10
58
100-110
5
63
110-120
2
65

65



Calculo de prime cuartil:



Calculo de segundo cuartil.


Calculo del tercer cuartil.





2. Determinación del primer cuartil de la siguiente tabla:
Salarios
No. De
Fi
(I. De Clases)
Empleados (fi)

200-299
85
85
300-299
90...