Cuantidad De Funciones Reales y Vectoriales

Capítulo 6

Continuidad de funciones reales y vectoriales de variable vectorial
6.1. Introducción

Hasta el momento hemos estudiado funciones reales de variable real, es decir, funciones de la forma f : Ω ⊂ R → R, donde Ω era un dominio abierto. Algunas definiciones eran: Límite de una función f (x) en un punto x0 ∈ Ω.
x→x0

l´ f (x) = l0 ⇐⇒∀ǫ > 0, ım

∃δ = δ(x0 , ǫ) > 0 : (x0 − δ, x0 +δ) ⊂ Ω y tal que si |x − x0 | < δ

entonces |f (x) − f (x0 )| < ǫ f (x) es continua en x0 ∈ Ω ⇐⇒ l´ x→x0 f (x) = f (x0 ). ım Observamos que en ambas definiciones interviene la noción de intervalo abierto centrado en un punto, así como el valor absoluto de la diferencia de dos números reales que no es sino la distancia entre ellos. Asimismo, el concepto de límite es común a la continuidad,derivabilidad e integración. Nuestro objetivo será extrapolar estos conceptos al caso de una función f : Ω ⊂ Rn → Rm donde n, m ∈ N. Continuidad de una función f (x) en un punto x0 ∈ Ω.

6.2.

Topología en Rn

En este apartado generalizamos al espacio Rn los conceptos topológicos de valor absoluto, intervalo, conjunto abierto, cerrado, punto interior, punto adherente, etcétera. La introducción deuna topología en Rn es necesaria a la hora de definir las nociones de límite y continuidad de funciones dependientes de varias variables reales. El concepto de norma es la generalización del concepto valor absoluto. Así, sabemos que la distancia entre dos números reales x, y ∈ R viene dada por d(x, y) = |y − x|. Veamos qué sucede en general. Definición 1 (Norma, espacio vectorial normado) Una normasobre Rn es una aplicación: · : Rn x −→ R+ → x ,

que satisface las siguientes propiedades para cada par de vectores x, y: (a) x ≥ 0 y x = 0 si, y sólo si, x = 0. 1

2

CAPÍTULO 6. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES (b) x + y ≤ x + y ( desigualdad triangular). (c) Para todo número real λ se tiene que λx = |λ| x . El par (Rn , · ) recibe el nombre de espacio vectorial normado.

Ejemplo 1 (R, |· |), (Rn , · 2 ), (Rn , · ∞ ), (R, · 1 ) son espacios vectoriales normados para las definiciones siguientes: | | es el valor absoluto de números reales. Si x = (x1 , . . . , xn ), x 2 = x2 + x2 + · · · + x2 , x 1 = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | y n 2 1 x ∞ = m´x{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}. a Hemos obtenido de esta forma distintas formas de medir en Rn . Sin embargo, ¿dependen los resultados de lanorma escogida? La respuesta es que no. De hecho en Rn todas las normas son equivalentes, es decir, dadas · 1 y · 2 normas en Rn , existen α, β ∈ R tales que ·
1

≤α ·

2

y

·

2

≤β ·

1.

La definición de límite será independiente de la norma elegida. Por ello, a partir de ahora utilizaremos la norma euclídea, · 2 . También es de señalar que la distancia euclídea entre dosvectores x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) viene dada de la forma: d(x, y) = (y1 − x1 )2 + . . . (yn − xn )2 = y − x 2 .

6.2.1.

Nociones topológicas asociadas a un espacio normado

El concepto análogo al de intervalo en el caso multidimensional es el de bola, éste permitirá desarrollar la topología de Rn . Definición 2 (Bola, disco) Fijada una norma · de Rn , dado un punto x ∈ Rny un número real ǫ > 0, se define la bola abierta o disco abierto de centro x y radio ǫ (resp. bola cerrada o disco cerrado de centro x y radio ǫ) como el conjunto B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : x − y < ǫ} (resp. B(x, ǫ) = {y ∈ Rn : x − y ≤ ǫ}).

Veremos ahora el aspecto gráfico que tienen estos conjuntos para las normas definidas en el apartado anterior para n = 1 y 2. Será fácil ver que estos conceptos noson más que el concepto de intervalo cuando la norma elegida es el valor absoluto sobre R. Ejemplo 2 Para n = 1. B(0; 1) = {x ∈ R : |x| < 1} = (−1, 1). B(0; 1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1} = [−1, 1]. Ejemplo 3 Para n = 2. ·
2.

B(0; 1) = {x ∈ R2 : x B(0; 1) = {x ∈ R2 : x

2

< 1} = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : d(x, 0) = ≤ 1} = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : d(x, 0) =

x2 + x2 < 1}. 1 2 x2 + x2 ≤ 1}. 2 1

2...