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Analisis De La Variacion De Funciones
Análisis de la Variación de la Función
Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en unsentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones devariación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.
La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también comoVariación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x).
Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función:
1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).
2). Si en el conjunto [x, y] lafunción es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0.
Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. | g (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.
3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y ces constante, en ese caso
a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].
b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].
c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].
d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]
e). gf es también BV en el conjunto [x, y].
Algunos datos más útiles acerca de estas funcionesespeciales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.
Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.
La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivadade f se encuentra acotada en [x, y]. Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.
Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:
1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.
Calculo DeAproximaciones Usando La Diferencial
Cálculo Utilizando el Enfoque Diferencial
No es para maravillarse que las ecuaciones diferenciales se utilizan en gran manera en el día a día para resolver problemas de cálculo complejos. Se utilizan en el campo de la investigación, física, matemáticas, e incluso la química no se queda intacta. Algunas áreas muy importantes donde se realiza el uso de lasecuaciones diferenciales se listan a continuación:
1.Cálculo de Máximos y Mínimos: Las aplicaciones de negocios requieren del cálculo de los valores máximos y mínimos de una función para incrementar su producto y por tanto el porcentaje de ganancia. El uso de la diferenciación para este propósito obtiene resultados inmediatos y con exactitud. Vamos a dar un vistazo a un ejemplo para entender...