Ciencia

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1 CALCULO VECTORIAL.

1.1.- VECTORES APLICADOS, LIBRES Y CURSORES. La necesidad de fijar normas de cálculo aplicables a todas las magnitudes ligadas a una dirección obliga a establecer un ente geométrico, que recibe el nombre de vector. Cuando hablamos de espacio entenderemos que nos referimos al espacio afín tridimensional ordinario, compuesto de puntos. Si en este espacio elegimos unpunto fijo O como origen, en base a su isomorfismo, podemos identificarlo con el espacio vectorial euclídeo tridimensional. Con E3 designaremos, indistintamente, el espacio vectorial euclídeo o el espacio afín con un punto fijo, en tres dimensiones. Dos puntos A, B del espacio E3 dados en un cierto orden, determinan un segmento orientado, que recibe el nombre de vector aplicado o fijo. El punto A esel origen o punto de aplicación y B es el extremo del vector. La distancia AB es el módulo del vector y la recta determinada por ambos puntos es la recta de acción o recta soporte. El sentido del vector viene dado por la ordenación A → B. Para representar el vector aplicado de origen A y extremo B escribiremos AB, o bien, con una letra cualquiera, v = AB, cuando no interese especificar el origenni el extremo del vector. En ocasiones se puede representar el mismo vector en la forma (A,v), o v(A), cuando interesa especificar su origen. Si consideramos el conjunto de todos los vectores aplicados del espacio, se puede definir en él una relación binaria de equivalencia ℜ, de la siguiente manera: Diremos que dos vectores aplicados AB y A'B' son equipolentes, si ABA'B' es un paralelogramo; esdecir: AB ℜ A'B' ⇐⇒ ABA'B' es un paralelogramo Esta relación de equivalencia clasifica el conjunto de vectores aplicados del espacio en clases disjuntas, cada una de las cuales recibe el nombre de vector libre. Por tanto, un vector libre del espacio E3 no es más que una clase de vectores aplicados equipolentes (o también, un elemento del conjunto cociente: conjunto de vectores aplicados delespacio/R). Los vectores libres representantes de las clases disjuntas se pueden suponer aplicados en un punto fijo O; en otras palabras, un vector libre puede tener su origen en cualquier punto del espacio. Por último, los vectores equipolentes que tienen la misma recta soporte pertenecen a una misma clase de equivalencia, que denominaremos vector deslizante o cursor. Según esto, el origen de un vectordeslizante puede ser cualquier punto de la recta soporte. Para representar un vector de origen A y extremo B, una notación menos usada, pero muy útil, es: AB = B - A. Entonces, escribir: B = A + AB nos indica que B es el extremo del vector AB, cuando se aplica en A. En tal sentido, también se puede decir que un vector es un operador que transforma un punto del

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espacio en otro. Con BAdenotamos un vector de origen B y extremo A. Los vectores AB y BA tienen el mismo módulo y dirección; pero su origen y sentido son distintos. A los vectores BA y AB se les llama vectores opuestos.

1.2.- IGUALDAD Y SUMA DE VECTORES. Dos vectores libres A y B se dice que son iguales cuando son equipolentes; es decir, cuando tienen el mismo módulo, rectas soporte paralelas y el mismo sentido.Escribiremos: A=B La igualdad de vectores debe satisfacer las propiedades: Idéntica: A = A Recíproca: Si A = B, B = A Transitiva: Si A = B y B = C, A = C

1.1.

La suma de vectores, por definición, satisface la regla del paralelogramo (ley de composición). La suma de A y B, con un origen común O, es el vector C, diagonal del paralelogramo que tiene por lados A y B (fig 1.1). La suma vectorial es una sumageométrica, de modo que los módulos cumplen, C = A ± B, solo cuando los vectores A y B son paralelos. Para sumar varios vectores se puede usar, sucesivamente, la regla del paralelogramo; pero es más breve utilizar el método del polígono. Para ello basta hacer coincidir el extremo de un vector con el origen del siguiente, formando una línea poligonal. El origen del primer vector con el extremo...