Campos

CAMPOS ESCALARES o FUNCIONES MULTIVARIABLES:

Hasta ahora hemos descripto curvas en el plano, para representar funciones escalares de una variable, en las cuales y es función de x (Simbólicamente: [pic]). En algunas ocasiones se citaba la relación entre x e y que definía y implícitamente en función de x ([pic]).
Pero en el mundo real, cantidades físicas, económicas, etc. dependen de dos o másvariables. Las funciones que permiten modelizar estas situaciones son los campos escalares o funciones de varias variables.
En este capítulo sólo nos detendremos al estudio gráfico de los campos escalares a través de sus curvas de nivel. Para llegar a la explicación de las mismas, debemos seguir recorriendo un camino de conceptos.

CAMPOS ESCALARES

Definamos primero, en general, lo que es uncampo escalar.
Si admitimos que n variables pueden oficiar de explicativas (o independientes) en una relación funcional, diremos que estamos ante un campo escalar o función escalar de varias variables.
Si bien es posible utilizar la notación [pic] cuando el número de variables explicativas es muy elevado, nos vemos en la necesidad de recurrir a casi todo el abecedario. Es más cómodo, utilizaruna única letra (comúnmente x) con subíndices 1, 2, 3,......i,..... en cuyo caso, la variable explicada podrá indicarse con y.

[pic]

Nótese la diferencia entre tomar a x1, x2 ,........xn como distintos valores de una misma variable, como se presentó anteriormente, y el uso de dicha notación como distintas variables explicativas simultáneas delfenómeno estudiado.

Así el CAMPO ESCALAR de n variables se puede simbolizar como: [pic], donde D es el conjunto dominio del campo e I es el recorrido del mismo.

Los elementos del dominio son n-uplas de números reales cuya graficación resulta imposible para n>3 y el rango es unidimensional, de manera que la representación gráfica de un campo sólo será posible cuando n = 2, pues nuestroespacio físico es de tres dimensiones y el dominio utilizará dos de ellas (el plano), quedando el otro eje (llamado normalmente z en matemática) para la representación de los distintos valores que toma el campo.
En términos gráficos, si n = 3 podrá representarse el dominio del campo, pero nos faltaría el eje para el valor de dicho campo (algunos autores lo consideran aparte).

Lo cierto es que si eldominio es unidimensional, la gráfica del campo pertenece al espacio bidimensional (función escalar de una variable); si el dominio es bidimensional, la gráfica está en el espacio de tres dimensiones (función escalar de dos variables) y como más allá es imposible representar nada, por abstracción aceptaremos que la gráfica de una función cuyo dominio pertenece a un espacio k-dimensional, estará enun espacio de dimensión ( k+1 ).


|Los campos escalares de dos variables explicativas o independientes se | |
|simbolizan generalmente como [pic]. Las variables x e y ocuparán el plano | |
|conocido hasta entonces por todos, formado por los ejes de iguales nombres, y||
|z, un tercer eje perpendicular al plano xy. | |
|A la derecha se muestra una simple representación de un campo escalar. | |


Clasificación De Campos Escalares


Así como las funciones escalarespueden ser simples o compuestas, con los campos escalares o funciones multivariables sucede lo mismo.
Un campo escalar es simple cuando las variables explicativas x1 , x2 ,.....xn determinan el comportamiento de y sin que exista una explicitación de relaciones entre estas variables, ni de ellas con otras. Aquí el análisis realizado de las relaciones es en extención.
Un campo escalar compuesto...