Calculo Vectorial

U N I D A D 4
Espacios Vectoriales.
4.1 Definición de espacio vectorial.
4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.
4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.U N I D A D 4
Espacios Vectoriales.

4.1 Definición de espacio vectorial.

TEMAS INTRODUCTORIOS DE GEOMETRÍA
SU OBJETIVO EN ESTA UNIDAD SERÁ IDENTIFICAR Y MANIPULAR LOS PRINCIPALES OBJETOS GEOMÉTRICOS CON LOS QUE SE TRABAJA EN EL ESPACIO COMO SON PLANOS, RECTAS, CILINDROS, SUPERFICIES CUÁDRICAS Y DE REVOLUCIÓN, TANTO EN LAS COORDENADASRECTANGULARES COMO  EN LOS SISTEMAS DE COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

Panorama conceptual sobre rectas y planos en el espacio
Al trabajar en el espacio ¿cuáles son los objetos geométricos mas simples con los cuales se debe trabajar?
 A continuación, encontrará una visualización gráfica de este tema de la unidad.








DEFINICIÓN Y PROPIEDADES BÁSICAS


Espacio vectorial realUn espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.


AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

i. Six [pic] V y Y [pic] V, entonces x+y [pic] V
ii. Para todo x,y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)
iii. Existe un vector 0 [pic] V tal que para todo x [pic] V, x+0 = 0+x=x
(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
iv. Si x [pic] V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)
v. Six y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)
vi. Si x [pic] V y a es un escalar, entonces a x [pic] V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)
vii. Si x y y están en V y [pic] es un escalar, entonces [pic] (x +y) = [pic]x +[pic]y (primera ley distributiva)
viii. Si x [pic] V y [pic] y [pic] son escalares, entonces ([pic] +[pic])x =[pic] x+[pic]x (Segunda ley distributiva)
ix. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)
x. Para cada vector x V, 1x= x



EJEMPLO 1


El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.








Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma dematrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo


















0= y –x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la


definición de matrices.

Espacio vectorial real
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones,llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas que se muestran enumerados a continuación.
Notación. Si x y y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y α x para el producto escalar de α f x.
Axiomas de un espacio vectorial.
i. Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V (es decir, V es cerrado para la suma).
ii. Para todos x, y, z enV, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).
iii. Existe un vector 0 ∈ V tal que para todo x ∈ V, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo).
iv. Si x ∈ V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se conoce como el inverso aditivo de x).
v. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores).
vi. Si x ∈ V, y α es un escalar,...