Areas bajo la curva

 
 AREAS.
Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luzgracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones nopoligonales, es decir de regiones con aspecto curvo(imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma mas moderna, elcomo podemos hallar áreas haciendo uso de la integral.Comencemos dando una primeradefinición de la relación queexiste entre la integral y el área (bajo curva en primeramedida) de una región no poligonal:
 AREAS BAJO CURVA 
 
Definición:
Sí
f 
es continua y no negativa en un intervalocerrado , el área de la región limitada por la gráfica de
f 
, el eje
x
y las rectas verticales
[
b ,a
]
a x
=
y
b x
=
viene dadapor:
∫ 
=
badx) x( f  Area
 Observemos lasiguiente fig 1:
FIG 1.
En ella se ve que f es una función continua, positiva (porencima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por lasrectas verticales y
a x
=
b x
=
. Podemos hallar el área de laregión R por medio de una integral definida aplicando ladefinición anterior.

 
 
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver comose puede aplicar la definición.
EJEMPLO1:
Hallar el área de la región acotada por la curvay las rectas y
4
=
) x( f 
3
−=
 x
2
=
 x
.
SOLUCIÓN:
1.
 
TRAZO DE LA REGIÓN
: En primera medida, se debe trazar laregión que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajose muestra la región establecida.
FIG 2.
2.
 
PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:
Aplicando la definiciónanterior, el área de la región R viene dado por:A =
∫ −
234
dx
 3.
 
EVALUACIÓN DE LA INTEGRAL
: Ahora procedemos a evaluar laintegral.A = =
∫ 
−
234
dx
324
−
 x
 =
203424
=−−
)()(
 Luego el área de la región es 20 u
2
.Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede

 
encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde estepunto de vista se puede hacer lo siguiente:A =
hb
=
)))(((
432
−−
 =
))((
45= 20.No es sorprendente que se hayan obtenido resultadosequivalentes.
EJEMPLO 2:
Hallemos el área de la región acotada por lacurva acotada por
 x x) x( f 
+=
3
[ ]
55
 ,
−
.
 
SOLUCION:
1.
 
TRAZO DE LA REGIÓN
: Presentamos el trazo de la curvajunto con el intervalo de acotación sobre el eje x, por supuesto.
FIG 3.
2.
 
PLANTEAMIENTO DE LA INTEGRAL:
Si se observa la fig 3,lasrectas
5
−=
 x
y dividen la región en dos partes; A
5
=
 x
1
yA
2
respectivamente. También se puede ver que el intervalose puede dividir en dos, así:
[
55
 ,
−
] [ ]
05
 ,
−
y
[ ]
50
 ,
. Luego elárea de la región (coloreada de verde) viene dada por:A = A
1
+ A
2
 A =
∫ ∫ 
−−+−
055033
dx) x x(dx) x x(

 
 3.
 
EVALUCION DE LA INTEGRAL
: Ahora procedemos aevaluar laintegral de la siguiente forma:
∫ ∫ 
−−+−=
055033
dx) x x(dx) x x( A
 
052244502244
⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++−⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +=
x x x x
 
225445225445
++−−−−=
)()(
 
46754675
+−=
 
2675
=
 Luego el área de la región sombreada es de
2675
u
2
.

 
  AREAS ENTRE DOS CURVAS QUE NO SE CORTAN.
Para plantear la siguiente definición, debemos de tener encuenta las mismascondiciones de la definición planteada en elnumeral 1, es decir:
Definición
:
Consideremos 2 funciones, y continuas enel intervalo
) x( f ) x(g
[ ]
b ,a
, de forma que . Observen lasiguiente figura:
) x(g) x( f 
>
 El área de la región R viene dada por:
∫ 
−=
badx)) x(g) x( f ( A
.Es razonable la definición anterior. En efecto,, luego, y el área de la región determinada por laanteriordiferencia es mayor que cero, es decir: .
) x(g) x( f 
≥
0
≥−
) x(g) x( f 
0
≥
 A
 Ahora consideremos la siguiente gráfica:

 
 
Ahora y son continuas en el intervalo , con. Luego para este caso área de R viene dada por. Obsérvese que tanto los límitesde integración y las variables involucradas
) y( f ) y(g
[
d  ,c
]
) y(g) y( f 
>
∫ 
−=
d cdy)) y(g) y( f ( A...