Analisis Armonico

Tarea Analisis de datos geof´ısicos
Rodrigo Ya˜
nez Vidal
02-06-2015
Desarrollo de funci´
on arm´
onica
De las clases anteriores se sabe que usando min´ımos cuadrados se busca reducir el error

S=

n
∑

(yi − yˆ)2

(1)

i=1

Donde yˆ es un estimador del error.
En relac´ıon a los arm´onicos vamos a suponer que se puede aproximar la se˜
nal y(t) para una
funci´on trigonom´etrica
El estimador es dela siguiente forma
yˆ = Acos(2πf t) + Bsin(2πf t)

(2)

Para un t entre 1 y N.
De lo anterior tendriamos lo siguiente:

S=

n
∑

(yi − yˆ)2

(3)

i=1

Tenemos 2 posibilidades
dS
dA

=0o

dS
dB

=0

Suponiendo que nuestra se˜
nal y(t) es de la forma y(t) = At + B
∑
dS
= −2
cos(2πf t)(y(t) − (Acos(2πf t) + Bsin(2πf t))) = 0
dA
i=1

(4)

∑
dS
= −2
sin(2πf t)(y(t) − (Acos(2πf t) + Bsin(2πf t))) = 0dB
i=1

(5)

N

N

Realizando algebra llegamos a lo siguiente
N
∑

y(t)cos(2πf t) =

N
∑

i=1

i=1

N
∑

N
∑

i=1

y(t)sin(2πf t) =

cos(2πf t)(Acos(2πf t) + Bsin(2πf t))(6)

sin(2πf t)(Acos(2πf t) + Bsin(2πf t))(7)

i=1

1

Desarrollando el lado izquierdo:
N
∑

y(t)cos(2πf t) =

i=1

N
∑

Acos(2πf t)cos(2πf t) +

i=1

N
∑

Bsin(2πf t)cos(2πf t)

i=1

(8)

N
∑

y(t)sin(2πf t) =

i=1

N
∑

Asin(2πft)cos(2πf t) +

i=1

N
∑

Bsin(2πf t)sin(2πf t)(9)

i=1

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 inc´ognitas. dado el sistema de ecuaciones
Acos(2πf t)cos(2πf t) + Bsin(2πf t)cos(2πf t) = y(t)cos(2πf t)
Asin(2πf t)cos(2πf t) + Bsin(2πf t)sin(2πf t) = y(t)sin(2πf t)
Para resolver el sistema utilizaremos el m´etodo de Cramer que da la soluci´on de sistemas de
ecuaciones lineales en terminos dedeterminantes.
Lo anterior representado matricialmente queda de la siguiente manera
[
][ ] [
]
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t A
Y (tCos2πf t)
=
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t B
Y (t)Sin2πf t
Entonces, A y B pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una divisi´on de determinantes

A=

Y (t)Cos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Y (t)Sin2πf t Sin2πf tSin2πf t
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Sin2πftCos2πf t Sin2πf tSin2πf t

(10)

B=

Cos2πf tCos2πf t Y (t)Cos2πf t
Sin2πf tCos2πf t Y (t)Sin2πf t
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Sin2πf tCos2πf t Sin2πf tSin2πf t

(11)

2

De lo anterior se llega a que los valores de A y B son respectivamente

A=

Y (t)Cos2πf tSin2πf tSin2πf t − Sin2πf tCos2πf tY (t)Sin2πf
Cos2πf tCos2πf Sin2πf tSin2πf t − Sin2πf tCos2πf tSin2πf tCos2πf t

(12)

B=

Cos2πftCos2πf tY (t)Sin2πf t − Y (t)Cos2πf tSin2πf tCos2πf t
Cos2πf tCos2πf Sin2πf tSin2πf t − Sin2πf tCos2πf tSin2πf tCos2πf t

(13)

Luego por definici´on los valores de Periodo, Amplitud y Fase son los siguientes
Periodo = 1/f
Amplitud =

√
A2 + B 2

A
)
Fase = −arctan( B

De lo anterior realizado queda expresado la parte te´orica de la funci´on arm´onica el c´alculo de los
coeficientes de A,B, laamplitud, la fase y el periodo valores que se van a calcular en una funci´on
creada en Matlab para trabajar series de datos.

3

Desarrollo a partir de inversi´
on de matriz
De lo anterior
[
][ ] [
]
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t A
Y (tCos2πf t)
=
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t B
Y (t)Sin2πf t
notamos que es de la forma Gm = d como queremos los valores de m, en este caso A y B, vamos
ainvertir la matriz
Gm = d
GT G = GT d
m = (GT G)−1 GT d
[

]
[
]
[ ]
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Y (tCos2πf t)
A
G=
d=
m=
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t
Y (t)Sin2πf t
B
[
]
Cos2πf
tCos2πf
t
Sin2πf
tCos2πf
t
Tenemos que GT =
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t
])−1
][
[ ] ([
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
A
=
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t Sin2πf tCos(2πft Sin2πf tSin2πf t
B
[

Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t

][

]
Y (tCos2πf t)
Y (t)Sin2πf t

Resolviendo el producto de matrices
[ ] [
]−1 [
]
A
Cos2πf tCos2πf t Sin2πf tCos2πf t
Y (tCos2πf t)
=
B
Sin2πf tCos(2πf t Sin2πf tSin2πf t
Y (t)Sin2πf t
Para resolver la inversa calculamos el determinante
∆ = Cos2πf tCos2πf Sin2πf tSin2πf t − Sin2πf tCos2πf tSin2πf...