algebra
Capítulo
LEYES DE EXPONENTES
ECUACIONES EXPONENCIALES
1
POTENCIACIÓN
TEOREMAS
Es la operación matemática que tiene por objetivo
encontrar una expresión llamada potencia (p), conociendo
previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y
exponente (n).
1.
b base ; b R
bn p ; donde n exp o nente ; n Z
p potencia ; p R
2.
Multiplicación : bases iguales.
a m. an a m n
4 2
4 2
x6
Ejemplo : x . x x
División : bases iguales.
am
an
Así pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es
la potencia.
Ejemplo :
x10
x7
am n ; a = 0
x10 7 x 3
DEFINICIONES
1.
3.
Exponente cero
Potencia de potencia.
(a m )n a m.n
ao 1 ; a = 0
Ejemplo : (x 2 )5 x 2 . 5 x 10
o
o
Ejemplo : 5 o 1 ; (3) 1 ; 7 1
2.
4.Multiplicación : exponentes iguales.
an bn = (ab)n
Exponente uno
a1 = a
Ejemplo :
a3 b3 c3 (abc)3
1
Ejemplo : 4 4
3.
(x 2 . y 3 )5 (x 2 )5 . (y3 )5 x10 . y15
Exponente entero positivo
5.
División : exponentes iguales.
an = a.a.a. ...... . a ; n 2
an
"n" veces
b
n
a
b
n
;b=0
Ejemplo : 73 7 . 7 . 7 343
Ejemplo :
4.
Exponente negativo.
a n
x3
1
an
;a=0
1 11
1
Ejemplo : 21 1
; 3 2 2
2
9
2
3
x
3
y
y
x4
y3
3
2
4 2
8
(x ) x
(y 3 )2 y 6
9
Álgebra
RADICACIÓN
TEOREMAS :
Es una de las operaciones matemáticas inversas a la
potenciación cuyo objetivo es encontrar una expresión
llamada raíz (b), conociendo otras dos expresiones
denominadas radicando (a) e índice (n).
1.
Multiplicación : índicesiguales.
n
3
Ejemplo :
a b ; donde n
a
b
n
signo radical
Índice ; n Z
2.
n
n
Raíz ; b R
x
Ejemplo :
3.
a, b R , n Z
División : índices iguales.
Radicando
3
1.
y
a b ab
n
8 2 8 (2)3
x
y
3
Ejemplo :
x
3 2
a
x
6
m.n
a
x
n
n
1.
a
b
2.
amb
m
m
mk
3.
an
b
; ab 0
a
am b ; a > 0
a nk; k Z
INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES
TRASCENDENTES
2004 existe en R.
32 no existe en R.
Es aquella ecuación donde al menos uno de sus
miembros no es una expresión algebraica, así pues tenemos:
Exponente fraccionario.
a)
n
a
m
m
an
2
x
Como base y exponente a la vez
Ej. 2x x 5 ; xx 3
2
(8) 3 3 8 (2)2 4
Formando parte de algún exponente
Ej. 5x1 125 ; 23 16b)
Ejemplo :
3.
a
;b=0
b
PROPIEDADES ADICIONALES
a b a bn
Observación : Debemos tener en cuenta que dentro
del conjunto de los números reales no se define a la
radicación cuando el índice es par y el radicando
negativo, como en los ejemplos :
2.
n
b
m n
9 3 9 32
4
a
Raíz de raíz.
Ejemplos :
3
n
n
x . 3 y 3 xy
Así pues : en 64 4 : 3 es el índice, 64 elradicando y 4 la
raíz.
DEFINICIONES :
n
a . b n a.b
c)
Afectada por algún operador
Ej. Logx2 x 1 ; Cos(2x) 0,5
a R n Z
ECUACIÓN EXPONENCIAL :
n
*
|a| : valor absoluto de "a", significa el valor positivo de "a".
Ejemplo :
10
a ; n # impar
a
| a | ; n # par
n
3
x3 x ;
x2 |x |
Es la ecuación trascendente que presenta a su
incógnita formando parte de algúnexponente.
2
Ejemplo : 5x 1 25
Teorema :
Transformando al segundo miembro se tendrá :
x
y
3
a a x y ; a > 0; a = 1
Ejemplo : 7
x 1
x
5 x
7
x 1 5 x
2x = 6
x=3
Observación : Para resolver algunas ecuaciones
trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de
comparación comúnmente llamado método de analogía, el
cual consiste en dar forma a una parte de laigualdad tomando
como modelo la otra. Veamos un ejemplo :
Ejemplo :
3
3
xx 3
33
x
3
x
3
3
3 (representa un valor de "x").
Sin embargo, debemos indicar que el método de analogía
sólo nos brinda una solución, pudiendo haber otras, sino
veamos el siguiente ejemplo :
En :
x
x 2 se observa que x = 2
Pero
2 =
x
4
x
4
4 , con lo cual tenemos :
4 de donde : x = 4.
11...
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