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274

E stadística

y probabilidad

De forma similar, para los estadísticos más comunes de un muestreo aleatorio de
tamaño n, se tiene
Media X



=

X1 + X2 +  + X n 1 n
= ∑ Xk
n
n k =1

X n +1 , cuando la cantidad de datos es impar
 2


Mediana X =  
X + X n
 n
+1
2 , cuando la cantidad de datos es par
 2

2





Varianza sesgada S2



2
Varianza insesgada Sn −1

=

1 n
1 n( Xk − X )2 = ∑ Xk2 − X 2
∑
n k =1
n k =1
=

n 2
Sn
n −1

9.3.3 Distribuciones muestrales
Se ha expresado la importancia de los estadísticos para llevar a cabo alguna inferencia,
ahora hace falta tener más conocimientos con respecto al comportamiento de dichos
estadísticos.
Primero recuérdese que un estadístico es una función de la variable aleatoria que depende
sólo de la muestra en estudio, portanto, debe tener una distribución de probabilidad que
describa su comportamiento, por lo que se presenta la siguiente definición.
Definición 9.12
Se le llama distribución muestral a la distribución de probabilidad del estadístico en estudio.

Por ejemplo



La distribución muestral de X se llamará distribución muestral de medias
La distribución muestral de S2 se llamará distribución muestral dela varianza

Como los estadísticos son funciones de variables aleatorias que se obtienen de
muestreos de una población, dependerán del tamaño de la población, el tamaño de la
muestra y el método de selección de la muestra.

Distribución de la media muestral
El estadístico que más aplicación tiene para llevar a cabo inferencias con respecto al
parámetro media µ es la media muestral, por lo queconviene analizar tres propiedades
del estadístico X que se emplean con bastante frecuencia en las inferencias.

U nidad 9 • M ultivariables

y distribuciones muestrales

275

Definición 9.13
Se llama distribución de la media a las variables de una muestra aleatoria de una distribución
X1, X2, . . . Xn con valor medio µ y desviación estándar σ.

Teorema 9.2

Demostración

Dadas X1,
Entonces

X2, . .. Xn variables de una distribución con valor medio µ y desviación estándar σ.

•

E( X ) = µ X = µ

•

V ( X ) = σ X2 =

•

σ (X ) =

σ2
n

σ
n

D�������������������������������������������������������������������������������������
e la definición de muestra aleatoria se deducen las propiedades del valor esperado y
la varianza para variables independientes. Como se trata de una muestraaleatoria, las
variables X1, X2, . . . Xn tienen la misma distribución que la población, por consiguiente
cada una de ellas tiene valor esperado µ, varianza σ 2 y además de ser independientes.
1 n
 1 n
1 n
1
E( X ) = E  ∑ X k  = ∑ E( X k ) = ∑ µ = ( n µ ) = µ
n k =1
n
 n k =1  n k =1



1 n
 1 n
1 n
1
σ2
V ( X ) = V  ∑ Xk  = 2 ∑ V ( Xk ) = 2 ∑ σ 2 = 2 ( nσ 2 ) =
n
n k =1
n
 n k=1  n k =1

σ (X ) = V (X ) =

σ2
σ
=
n
n

En caso de que la población tenga una distribución normal con media µ y
desviación estándar σ , las variables aleatorias que conforman una muestra aleatoria
de tamaño n X1, X2, . . . Xn deben tener la misma distribución normal que la población,
por consiguiente cada una tendrá valor esperado µ y varianza σ 2, además de ser independientes. Conrespecto a la distribución que tendrá la media muestral X, se presenta el
siguiente teorema.
Teorema 9.3
X1, X2, . . . Xn las variables de una muestra aleatoria de una distribución normal con
µ y desviación estándar σ, entonces, para cualquier tamaño de muestra n, X estará
normalmente distribuida con media E( X ) = µ y desviación estandar
σ
σ (X ) =
n
Dadas

valor medio

La regla de transformación en Zpara el modelo normal muestral será
Z=

X − E( X ) X − µ
=
σ
σ (X )
n

276

E stadística

y probabilidad

Ejemplo 7

Los tornillos producidos por una máquina tienen 10 mm de diámetro y una desviación
estándar de un milímetro. Se calcula la probabilidad de que de una muestra aleatoria
de diez tornillos éstos tengan no más de 10.05 mm de diámetro promedio. Supóngase
que la distribución de los...