01 Gradientes Aritmu00E9ticos Y Geogru00E1ficos






UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
TEMA
GRADIENTES ARITMÉTICOS Y GEOMÉTRICOS ASCENDENTES Y DESCENDENTES:

INTEGRANTES:
Arias Bautista Otto Omar C.I. No. 0916659758
Rojas Macera Mishel Madeley C.I. No. 0979721205
Beltran Solorzano Pablo Andrés C.I. No. 0993869170
Pazmiño Izquierdo Amperica C.I. No. 0958923908
Aranda de la Torre Karen C.I. No. 0989738157
GilcesMera Ernesto C.I. No. 0939870461
Villa Crespo Mario C.I. No. 0982696840
CURSO:
EXCEL APLICADO A LAS MATEMATICAS FINANCIERAS






GRADIENTES ARITMÉTICOS Y GEOMÉTRICOS ASCENDENTES Y DESCENDENTES
1.1 GENERALIDADES
Un gradiente básicamente consiste en una serie de pagos periódicos que varían (crecen o disminuyen) de uno a otro en la misma forma y que cumplen con las siguientes condiciones:
1. Todoslos pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
2. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés
3. El número de pagos es igual al número de periodos
4. Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales Etc.
5. Las variaciones se empiezan a presentar a partir del segundo pago.
Si cada pago crece o disminuye respecto al anterior en una misma cantidad se denomina a la seriegradiente lineal o aritmético (lo llamaremos aritmético). Si cada pago crece o disminuye respecto al anterior en un mismo porcentaje se denomina a la serie gradiente geométrico.
1.2 GRADIENTES ARITMETICOS
Tal como lo mencionamos son series periódicas de pagos que varían de uno a otro en una misma cantidad que para nuestro caso llamaremos L; si L es positiva el gradiente será creciente, por el contrariosi L es negativo el gradiente será decreciente. Un típico gradiente puede apreciarse en la siguiente figura:

Estos gradientes para efectos de simplificar el diagrama de caja los representamos así:


Tal como se puede apreciar, los pagos cumplen con la siguiente ley de formación:
Periodo
Pago
Incremento
0
Ninguno
Ninguno
1
R
Ninguno
2
R+L
L
3
R+2L
L
4
R+3L
L
:
:
:
:
:
:
N
R+(n-1)L
L
 



1.3 VALORPRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO
Para hallar el valor presente, bastara con trasladar todos los pagos a cero (tomando 0 como fecha focal) utilizando la siguiente expresión:
P = F(1+i)-n
La ecuación quedará como sigue:
P = R(1+i)-1 + (R+L)(1+i)-2 + (R+2L)(1+i)-3 + ... + (R+(n-1)L)(1+i)-n
Multiplicando para separar los términos en R de los términos en L
P = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + R(1+i)-3 + ...+ R(1+i)-n + L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 + ... + (n-1)L(1+i)-n



Ahora bien, analicemos los términos a los que hemos llamado W:
Ecuación 1
W = (1+i)-2 + 2(1+i)-3 + 3(1+i)-4 +... + (n-1)(1+i)-n
Multiplicando la anterior ecuación por (1+i) obtenemos:
Ecuación 2
W(1+i) = (1+i)-1 + 2(1+i)-2 + 3(1+i)-3 +... + (n-1)(1+i)-(n-1)
Si restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos la 1) se eliminan loscoeficientes quedando solo el del último término de la primera ecuación y obtenemos:
W(1+i) - W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - (n-1)(1+i)-n
Efectuando los productos del primero y último factor:
W +Wi - W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - n(1+i)-n + (1+i)-n
Simplificando y colocando en su lugar el último término:
Wi = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +...+ (1+i)-(n-1) + (1+i)-n - n(1+i)-n
Donde nuevamente podemos reconocer los términos de la serie de presente de una anualidad, así que podemos escribir la ecuación como:

Y si sustituimos el valor de W en la ecuación de valor presente tendremos:

 
Ejemplo 10
¿Cuánto cuesta un equipo que se paga mediante una serie de 6 pagos que inician en $80.000 y que cada mes crecen $20.000 si se realizan a una tasa de interésdel 24% CM?
Ante todo, hallamos la tasa efectiva y trazamos nuestro diagrama de caja:
i = J/m = 0.24/12 = 0.02
La serie de pagos establece el siguiente diagrama de caja:

 
Donde el valor de P (o sea el costo hoy del equipo) se establece mediante la siguiente expresión:

Se sabe que el efectuar estas operaciones de aritmética barata, será parte de los pasatiempos del amable lector en compañía...