Álgebra lineal

1.-Combinacón lineal

Un vector [pic]se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores [pic]si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de [pic]multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar [pic], de forma que:
[pic].
Así, [pic]es combinación lineal de vectores de [pic]si podemos expresar [pic]como una suma de múltiplos de una cantidadfinita de elementos de [pic].
Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir [pic]sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.
En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto [pic]necesito para que, cuando se combinenlinealmente dichos elementos , pueda formar al vector [pic]en cuestión.

2.- Dependencia e independencia lineal:

DEPENDECIA LINEAL: sean v1, v2, ...., vn vectores de V se dice que los vectores v1, v2, ...., vn son linealmete dependientes si existen escalares c1, c2, ....., cn NO todos cero talque:
c1*v1 + c2*v2 + ....... + cn*vn = 0
es decir que la combinacion lineal de esos vectores de el vectorcero, y que al menos uno de los escalares no sea cero.

si no es linealmete dependiente entonces se dice que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.
es decir que c1*v1 + c2*v2 + ....... + cn*vn = 0 y c1=c2=........=cn=0

( nota: 1, 2 , ...n son subindices y V es un espacio vectorial)

por ejemplo los vectores (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) son linealmente independientes

c1*(1,0,0) + c2*(0,1,0) +c3(0,0,1) = 0
pues la unica forma de que esto pase es que c1, c2 y c3 sean cero
*Teoremas de la combinación lineal:
Teorema 1 Cualquier vector de un espacio vectorial se
puede escribir como combinacion lineal de los vectores
de una base, siendo esa combinacion lineal _unica.
Teorema 2 Dada una base B del espacio vectorial R n
y un vector v 2 Rn que no esta en B, v 6= 0, siempre
es posibleconseguir otra base sustituyendo algun vector
de B por el vector v.

3.-Transformación lineal:
Se denomina transformación lineal a toda función, T, cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

*EJEMPLOS:
Transformación lineal nula
[pic][pic]
Transformaciónlineal identidad
[pic][pic]
Homotecias
[pic]con [pic]
Si |k| > 1 se denominan dilataciones
Si |k| < 1 se denominan contracciones

Tres notas sobre notación.
1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
2. Seescriben indistintamente Tv y T (v). denotan lo mismo; las dos fases se leen “T de v”. eso es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.
3. Muchas de las definiciones y teoremas se cumplen también para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).
• Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llamanoperadores lineales.
• Nota: No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por ejemplo, defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la grafica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Las únicas transformaciones lineales de R en R son funciones de la forma f (x) =mx para algún número real m. así, entre todas las funciones cuyas graficas son rectas, las únicas que son lineales son aquellas que pasan por el origen. En algebra y calculo una función lineal con dominio R esta definida como una función que tiene la forma f (x) = mx + b. asi, se puede decir que una función lineal es una transformación de R en R si y solo si b (la ordenada al origen) es cero....