Volohisnov

SEMILLEROS DE MATEMÁTICAS NIVEL 11.
TALLER Nº 3. TEORÍA DE CONJUNTOS
GEORGE CANTOR.
Nació en San Petersburgo (Rusia). Su madre era rusa y su padre era un comerciante danés.
En 1856 la familia se trasladó a Wiesbaden (Alemania). Fueron 6 hermanos.
La disciplina en la familia era muy estricta y había verdadera obsesión por el éxito.
Su padre quería que estudiase ingeniería, pues había demandade ingenieros y estaban bien
pagados, sin embargo, a Cantor no le gustaba la idea y estudió Matemáticas.
Estudió en el Politécnico de Zurich y en Berlín. Sus profesores en Berlín fueron Weierstrass,
Kummer y Kronecker.
En 1869 entró como profesor en la Universidad de Halle. Cantor siempre quiso que le llamaran
de una de las Universidades importantes (Berlín o Gotinga) pero la llamada no seprodujo, se
cree que por la oposición de Kronecker, con el que estaba enfrentado porque los trabajos de
Cantor refutaban los fundamentos de los trabajos que realizaba Kronecker.
Cantor estudió los conjuntos infinitos.
El primer descubrimiento revolucionario fue la demostración de que había el mismo número de
puntos en el plano que en la recta. (Galileo había demostrado que había el mismonúmero de
puntos en segmentos de diferente tamaño).
Demostró que no todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño y que conjuntos, que
todos diríamos que tienen más elementos, tienen los mismos. Por ejemplo, hay el mismo
número de números pares que de naturales, hay el mismo número de enteros que de
naturales, hay el mismo número de racionales que de naturales. Sin embargo, hay más
númerosreales que naturales.
Sus teorías fueron muy controvertidas en su época y tuvo enfrentamientos con otros
matemáticos.
Cantor padeció trastornos maníaco-depresivos en varias etapas de su vida. Sólo al final de su
vida, se empezó a apreciar su trabajo, cuando ya era demasiado tarde, pues su enfermedad
mental estaba muy avanzada.
Murió en 1918 en un sanatorio mental.

Objetivos: Estudiar elálgebra de clases. Pares ordenados, gráficos, familias.
Glosario: Conjunto; Par ordenado, Relación, Dominio, Cardinal.

Bibliografía:
Pinter, C.C. Set Theory. Addison-Wesley, 1971.
Lipschutz, S. Theoty and Problems of set Theory and Related Topics. New York. Schaum
Publishing Company. 1964

EJERCICIOS:
1. Use álgebra de conjuntos para probar
lo siguiente:
A. Si A∩C= ϕ , entonces A∩(B ∪C)=A∩B
B. .Si A∩B= ϕ , entonces A-B=A.
C. .Si A∩B= ϕ y A ∪ B=C, entonces A=CB.
2. Use álgebra de conjuntos para probar
lo siguiente:
A. A∩(B-C)=(A∩B)-C.
B. (A ∪ B)-C=(A-C) ∪ (B-C).
C. .A-(B ∪ C)=(A-B)∩(A-C).
D. .A-(B∩C)=(A-B) ∪ (A-C).
3. Definimos la operación diferencia
simétrica entre conjuntos, denotada por
+, de la siguiente forma: si A y B son
conjuntos, entonces: A+B=(A-B)∪(B-A).Probar cada una de las siguientes:
A. A+B=B+A
B. .A+(B+C)=(A+B)+C
C. .A∩(B+C)=(A+B).
D. A+A= ϕ , y A+ ϕ =A
4.
A.
B.
C.

Probar cada una de las siguientes
Si A ∪ B= ϕ entonces A= ϕ y B= ϕ .
.A∩B′= ϕ si y solo si A ⊆ B.
A+B= ϕ si y solo si A=B.

5. Sean A, B, C, D conjuntos. Probar cada
una de las siguientes:
A. A×(B-D)=(A×B)-(A×D).
B. (A×B)∩(C×D)=(A×D)∩(C×B).
−1

C. (A×B) =B×A.Tenga en cuenta que
A×B puede ser visto como una relación
6. Probar que dos conjuntos arbitrarias A
y B son disjuntas si y solo si para toda
conjunto C≠ ϕ , se cumple que:
(A×C)∩(B×C)=. ϕ
7. Sean A y C conjuntos no vacíos.
Probar que A ⊆ B y C ⊆ D si y solo si
A×C ⊆ B×D.
8. .Sean A, B, C, D conjuntos no
vacios.Probar que A×B=C×D si y solo
si A=C y B=D
9. Sean A, B, C conjuntosarbitrarias.
Probar
que
(A×B)∩(A′×C)= ϕ
y
(B×A)∩(C×A′)= ϕ .
10. .Probar que A×B= ϕ si y solo si A= ϕ ó
B= ϕ .

11. Sean G, H, J relaciones. Probar cada
una de las siguientes.
A. (H ∪ J)◦G=(H◦G) ∪ (J◦G)
B. .(G-H)

−1

=G

−1

-H

−1

C. G◦(H∩J)∪(G◦H)∩(G◦J)16 km/h
12. Sean G
que1980

y

−1

=G

A. (G∩H)

B. .(G ∪ H)

−1

H
−1

=G

relaciones.

∩H
−1...