Método de Richardson
TRANSFORMACIONES LINEALES
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DEFINICION: Si es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W ,entonces
T se llama TRANSFORMACIÓN LINEAL de V a W si para todos los vectores u y v de V y
todos los escalares c se cumple que:
a) T (u v) T (u ) T (v)
b) T (cu ) cT (u )
En el casoespecial donde V W , la transformación lineal T : V V , se denomina operador
lineal sobre V .
Esta definición es equivalente al requisito de que T conserva todas las combinaciones lineales.
Es decirT : V W , es una transformación lineal si y solo si:
T (c1v1 c2v2
Para todo v1 ; v2 ;
ck vk ) c1T (v1) c2T (v2 )
; vk V y escalares c1 ; c2 ;
ckT (vk )
; ck .OBSERVACION
La particularidad de una transformación lineal es que preservan las operaciones de suma y
producto por un escalar.
Ejemplos:
1. Transformación cero Sea V y W espacios vectoriales y definaT : V W , por Tv 0 ;
para todo v en V. entonces:
T (v1 v2 ) 0 0 0 T (v1) T (v2 )
T ( v) 0 0 T (v)
En este caso, T se denomina la transformación cero.
2
2 ,definida por T ( x; y ) (2 x y; x y ) ; es lineal. Dejamos
2. La transformación T :
la demostración para el estudiante.
3. El operador T : V V definido por T (v) v ; v V es lineal, llamadooperador
identidad.
4. La transformación T :
proyección.
3
2
, definido por T ( x; y; z ) T ( x; y ) ; es lineal, llamada
5. Sea T : M nn , la transformación que mapea unamatriz cuadrada de orden n en su
determinante; es decir:
1
Ingeniería de Sistemas Computacionales
Ciclo 2013-1
T ( A) det( A) .
Esta transformación no es lineal; dejamos como tarea lademostración al estudiante.
6. La transformación T :
contracción.
3
3
7. La transformación T :
dilatación.
3
, definida por T (u ) u , 0 1 ; es lineal llamada
3...
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