Ejercicios De Relatividad De Galileo Y Newton

DESARROLLO GU´ DE RELATIVIDAD ESPECIAL IA Galileo - Newton
´ Miguel Angel Tello Carrera Departamento de Matem´ticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. a 2 de noviembre de 2012

1. Un observador O se halla en la berma de un camino. A una distancia L hay un ret´n policial. En t = 0, un autom´vil pasa con velocidad v0 , mayor e o que la permitida, junto a O. El observador O le avisa alconductor del autom´vil, grit´ndole, que hay polic´ m´s adelante. Pero O se demora o a ıas a en gritar, y el aviso le llega al automovilista justo cuando pasa frente a la autoridad. Encontrar el tiempo t0 que tard´ O en enviar el aviso desde que el autoo movil pas´ a su lado. o Soluci´n: o El diagrama espacio-tiempo se muestra en la figura 1. Tenemos sin α = v0 2u0 , (1)

adem´s, de la figura 1 secumplen a

u0 (tf − t0 ) = L y sin α = L 2u0 tf .

(2)

(3)

Entonces, de (2)

1

uoto

O

R

uoto

biscectriz

uotf

L

L

uoto

L

x

Figura 1: Diagrama espacio-tiempo para la situaci´n planteada. o

t0 = tf − De (3) tf =

L u0

.

(4)

L 2u0 sin α

,

(5)

luego, (1) en (5) tf = L v0 , (6)

y finalmente (6) en (4)

2

t0 = L

1 1 − v 0u0

.

2. Dos polillas P1 y P2 , se encuentran juntas, posadas en una rama. En t = 0 la polilla P1 vuela hacia la derecha con velocidad v0 , sin notar que a una distancia D acecha un murci´lago M , en reposo respecto a la polilla P2 . En e el mismo instante t = 0 en que la polilla comienza a volar, el murci´lago M e emite una onda sonora que viaja hacia P1 , rebota en ella mientras est´ en avuelo, y vuelve a M . a) ¿Cu´nto tiempo tarda la onda sonora en llegar a la polilla P1 ? a b) ¿A qu´ distancia del murci´lago se encuentra la polilla P1 cuando la e e onda sonora vuelve al murci´lago? e Soluci´n: o El diagrama espacio-tiempo se muestra en la figura 2. a) Tenemos sin α = v0 2u0 . (7)

Adem´s, de la figura 1 se cumplen a

sin α =

D 2u0 t3

,

(8)

sin α = Entonces, de (8)t3 = De (9)

u0 t1 2u0 (t3 − t1 )

.

(9)

D 2u0 sin α

.

(10)

3

P 2

M

P1

D

uot 3

uot2

d

uot2

biscectriz

uot1

uot1

D

x

Figura 2: Diagrama espacio-tiempo para la situaci´n planteada. o

t3 =

1+

1 2 sin α

t1

,

(11)

luego, igualando (10) y (11), obtenemos

D = 2u0 sin α

1+

1 2 sin α

t1

,

(12)

donde t1=

D 2u0 sin α + u0

.

(13)

4

Finalmente con (7) t1 = D v0 + u0 . (14)

b) De la figura 2, se cumple tambi´n que e

sin α = y

d 2u0 (t3 − t2 )

(15)

u0 t2 = 2u0 t1 que es equivalente a t2 = 2t1 Entonces, de (15) .

,

(16)

d = 2u0 (t3 − t2 ) sin α

,

(17)

luego, (10) y (16) en (17)

d = 2u0

D − 2t1 sin α 2u0 sin α

.

(18)

Por ultimo, (7) y (14)en (18) ´ D 2D − v0 v0 + u0 v0 + u0 − 2v0 v0 (v0 + u0 ) v0 2u0

d = 2u0

,

= D v0 ·

,

d=D·

u 0 − v0 u 0 + v0 5

.

3. Consideremos un tren que se acerca con velocidad v0 hacia la casa de una paloma que se encuentra a una distancia D. En t = 0, con el fin de salvar su vida, la paloma emprende vuelo hacia el tren, con velocidad constante vp , con la intenci´n de posarse en laventanilla del conductor y lograr que o detenga el tren, evitando que rompa su casita. ¿A qu´ distancia estar´ el tren de la casita cuando la paloma llega a ´l? e a e ¿Cu´ndo llegar´ la paloma al tren? a a Soluci´n: o El diagrama espacio-tiempo se muestra en la figura 3.
C T uot uot P

d

uoto

d

D

x

Figura 3: Diagrama espacio-tiempo para la situaci´n planteada. o

Tenemos sin α = vp2u0 , (19)

tambi´n, de la figura 3 se cumple e

6

sin α =

d 2u0 t0

,

(20)

y de la definici´n de velocidad o

v0 = Entonces, de (20) t0 =

d−D t0 − 0

.

(21)

d 2u0 sin α

,

(22)

luego, (22) en (21) v0 = 2(d − D)u0 sin α d .

Despejando d, se tiene

dv0 = 2d u0 sin α − 2D u0 sin α 2D u0 sin α v0 − 2u0 sin α

,

d=−

,

d=

2D u0 sin α 2u0 sin α...